الرياضيات > الرياضيات
الاحتمالات في لعبة Bingo
في ليالي الشتاءِ الباردة، وكذلك في سهراتنا الصيفيةِ الطويلة، قد تكون لعبة “BINGO” من أكثرِ الألعابِ تسليةً لنا.
نعم، من المريحِ قضاءُ بعض الوقت مع الأصدقاء في اللعب، تلك اللعبة تحتاجُ الى قليلٍ من التفكير و تتيح للكبارِ و الصغار نفس الفرصة في الربح أو الخسارة مع الكثير من التشويق.
ولكن ما هو مبدأ هذه اللعبة وما هي نتائج علم الاحتمالات لتوقّع الوقت اللازم للفوز بها؟!
هذا ما سنراه في هذا المقال...
مبدأ اللعبة :
كلُّ لاعبٍ لديه بطاقةٌ أو أكثر، البطاقة هي عبارة عن جدول 5*5، أي خمسة أعمدة و خمسة أسطر، تلكَ الأعمدة مسماة من اليسارِ الى اليمين بالأحرف:
"B" ، "I" ، "N" ، "G" ، "O" على الترتيب كما في الشكل:
كما نلاحظ في الشكل فإنَّ المربعَ المركزي خالٍ أو يكتب به “free”.
المربعاتُ الخمسة في العمود الأول المسمى "B" تحتوي على خمسةِ أرقامٍ طبيعيةٍ تنتمي للمجال من 1 إلى 15 أمّا العمود "I" فإنه يحتوي على أربعةِ أعدادٍ مختلفة تنتمي للمجال من 16 إلى 30 .
العمود "N" يحوي أيضاً على أربعةِ أعدادٍ مختلفة ولكن تنتمي للمجال من 31 إلى 45، أمّا العمودُ "G" فإنه يحتوي على خمسةِ أعدادٍ تنتمي للمجال من 46 إلى ،60 و أخيراً العمودُ "O" يحتوي على خمسةِ أعدادٍ من المجال 61 إلى 75.
يقومُ اللاعبُ بانتقاء رقم عشوائي مِنَ المجال 1 الى 75 و إعلانه على باقي اللاعبين، اللاعب الذي يجد هذا الرقم على بطاقته يقوم بشطبه، الفائزُ هو من يقوم بشطب عمود كامل أو سطر كامل أو قطر من أقطار المربع الأربعة.
هناك 12 احتمال (حالة) للفوز، ثمانية منها لا تتضمن المربّع المركزيّ المسمى “free” أمّا الأربعة البقية فتتضمنهُ و هي ( العمود N، السطر 3 ، و القطرين ) .
ومِنَ الطبيعيّ أنَّ البعضَ منا قد تصيبه بعضُ الحيرة و يسأل عن طولِ أو وقتِ اللعبة و بشكلٍ دقيق يصبحُ السؤال كم رقماً يحتاجُ اللاعب للإعلان عنه حتى ظهور أول BINGO وانتهاء اللعبة من أجل عدد محدود و معروف من اللاعبين؟.
بالطبع الرياضيّات هي الحل... وعلمُ الاحتمالات تحديداً هو مَن سيساعد في الإجابةِ عن هذا السؤال.
احتاجَ الباحثان ديفيد أجارد David B. Agard و مايكل شكليفورد Michael W. Shackleford للمضي قدماً في البحثِ عن أرقامٍ دقيقة لاحتمالات هذهِ اللعبة، إلى حواسيب تقومُ عنهم ببعض الحسابات الطويلة المملة نوعاً ما على حد قولهم.
فَشِلَ الباحثان بعدةِ محاولاتٍ لإجراء حسابات الاحتمالات لتلك اللعبة "الأحداث التي تمثلُ الـ12 احتمالاً للفوز هي ليست مستقلة" يقول Michel و David .
في علمِ الاحتمالات إذا كان الحدثان A و B مستقلان فإنَّ احتمال حصولِ الحدثان A و B معاً هو جداءُ احتمالاتهما، أيّ:
P (A&B) = P(A) * P(B)
أمّا إذا كانت الأحداثُ غيرَ مستقلةٍ فستخضعُ إلى قانونٍ آخرَ يجعلُ الحسابات معقدةً بشكلٍ أكبر.
الطريقةُ الحاسمةُ للحسابات لتحديدِ العددِ المطلوب تعتمدُ على عددِ المربعات المشطوبة.
فمثلاً إذا كانَ لدينا في البطاقةِ 4 مربعاتٍ مشطوبة فإنَّ تلكَ المربعات يمكن أن تعطي BINGO بأربعِ طرقٍ مختلفة ولكن 5 مربعاتٍ مشطوبة يُمكنُ أن تعطي BINGO بثمانِ طرق مختلفة (تذكَّر أنَّ لدينا 12 طريقة مختلفة للوصول الى BINGO )
و كانت نتائجُ البحثِ كما يلي :
إذا كانَ عددُ البطاقات هو بطاقة واحدة فهناكَ احتمال 50% تقريباً للفوز بعدَ إعلانِ 41 رقم (من قبلِ اللاعب الذي ينتقي الأعداد عشوائياً) وأيضاً هناكَ احتمال 90% للفوز بعدَ إعلانِ 54 رقم من قبلِ اللاعب.
و يوضحُ الجدولُ التالي التّوزع الاحتمالي للعددِ المطلوب للوصول إلى BINGO:
على أيّة حال، اللعبة المسلية بالطبع تتضمنُ أكثرَ من لاعبٍ و بالتالي أكثر من بطاقة.
هنا تصبحُ الأحداث غيرَ مستقلة و الأمرُ أعقدُ للحسابات، لذلكَ لجأ المحللون إلى المحاكاة باستخدام الحواسيب لإيجادِ التوزيع الاحتمالي لعددِ الأرقامِ العشوائيةِ المطلوبة للوصول إلى الفوزِ في لعبةٍ تتضمن m عدد من البطاقاتِ المملوءةِ بشكل عشوائي أيضاً (اللاعبين).
و الجدول التالي يوضح ذلك:
تلكَ النتائجُ صالحةٌ من أجلِ لعبة BINGO بالطريقة الموصوفة في بداية هذا المقال و بالطبع يوجدُ طرق أخرى للعب حيثُ أنَّ كلَّ طريقة لها جداول التوزيع الاحتمالي الخاصُ بها .
المصادر: