كرات البينغ بونغ, اللانهاية, والقوى العظمى!

استمع على ساوندكلاود 🎧

أولاً وقبل كل شيء، نود منك أن تفكر في حجم المجموعات غير المنتهية من الأشياء، أو المجموعات اللانهائية، كما يطلق عليها. حجم المجموعة هو عدد العناصر التي تحتوي عليها، ونقول إن مجموعتين من نفس الحجم إذا كانت هناك طريقة واحدة على الأقل لمطابقة كل عنصر من المجموعة الأولى مع عنصر واحد فقط من المجموعة الأخرى. مثلاً المجموعة {1، 2، 3} لها حجم مجموعة نفسه {a، b، c } لأننا يمكن أن نقابل العناصر كما يلي 1 ↔a، 2↔b، و 3↔c (وهناك طرق أخرى لمطابقتها، ولكن نحن بحاجة للعثور على واحدة فقط).

من ناحية أخرى، تصبح الأمور أكثر إثارة للاهتمام عندما نتعامل مع مجموعات لا نهائية. وكمثال على ذلك، فكر في حجم مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة {1، 2، 3، 4، ...}. وهو حجم مجموعة الأعداد الزوجية نفسه {2، 4، 6، 8، ...} بالتخلص من العنصر الأول من المجموعة الأولى يبقى حجم المجموعة ذاته ، وبعد ذلك يمكن التخلص من العنصر الثاني مرة أخرى وتبقى المجموعة بالحجم نفسه ونعيد الكرّة... وهكذا يمكن أن نطابق عناصر المجموعتين كما يلي: 1 ↔ 2، 2 ↔ 4، 3 ↔ 6 ... الخ. أي كل عنصر في المجموعة الأولى يقابل عنصراً واحد في المجموعة الثانية، وهو ضعفه، وبالمثل أي عنصر في المجموعة الثانية يقابل نصفه في المجموعة الأولى. لا يوجد أي عنصر لا مقابل له، وهكذا، تبدو المجموعتان بالحجم نفسه. وهنالك مجموعات أخرى من الحجم ذاته مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة مثل مجموعة الأعداد الفردية، ومجموعة مضاعفات العدد 10 (وتسمى هذه المجموعات لانهائية معدودة).

والآن سنطرح مسألة من شأنها توضيح بعض العواقب غير المتوقعة لهذه الحقيقة.

تعبئة كرات البينغ بونغ:

اسمحوا لنا أن نقدم لكم كلارك. الذي يمتلك القوة العظمى التي تمكنه من تنفيذ ما يسميه علماء الرياضيات مهمة فائقة وهذه المهمة تتطلب عدد لا حصر له من الخطوات لتنفيذها في وقت محدد. في حالتنا، فإن الوقت بالضبط ساعة واحدة، ابتداءً من الساعة 11:00 وحتى الساعة 12:00.

كلارك لديه عدد لا نهائي من كرات البينغ بونغ، مرقمة بالترتيب من 1، وحقيبة ليضع الكرات فيها. في تمام الساعة 11:00 يأخذ الكرات العشرة الأولى، المرقمة من 1، 2، 3، ... 10، ويضعها في الحقيبة. ثم يخرج الكرة ذات الرقم 10 من الحقيبة، ويترك التسعة الأخرى. هذا سهل، لا حاجة لقوة فائقة بعد، ويجب على كلارك الاسترخاء لفترة من الوقت، وشرب كوب من الشاي ربما، لأنه سوف يقوم بالأكثر صعوبة. بعد انتظار 30 دقيقة، أي في الساعة 11:30، كلارك يضع الكرات العشر التالية، ذوات الأرقام 11، 12، ... 20، في الحقيبة، ويخرج الكرة رقم 20. بعد انتظار 15 دقيقة أخرى (وذلك في تمام الساعة 11:45) يضع الكرات ذوات الأرقام 21، 22، ... 30 في الحقيبة، ويخرج الكرة رقم 30.

يواصل كلارك القيام بذلك، دائماً يضيف الكرات العشر التالية ثم يخرج العاشرة، ولكنه ينتظر فقط نصف وقت الانتظار السابق كل خطوة. من الواضح أن كلارك سوف يحتاج للقيام بذلك عدد لانهائي من المرات طالما يحصل على إمدادات لا نهائية من كرات البينغ بونغ. فهل سينتهي؟ الجواب نعم. إذا جمعنا فترات انتظار كلارك قبل وضع الكرات في الحقيبة، نحصل على المجموع التالي:

هذا المجموع يتقارب إلى الرقم 1: لأن كل حد يضاف يجعل المجموع أقرب إلى 1، ويمكنك الوصول إلى 1 بإضافة ما فيه الكفاية من الحدود (انظر الشكل). بشكل حاسم، لن يتجاوز المجموع 1، وبالتالي فإن عملية تعبئة الكرات برمتها، على الرغم من أنها تنطوي على عدد غير منتهي من الخطوات، لن تستغرق سوى ساعة واحدة لإكمالها (بفضل القوة العظمى لكلارك، يمكنه تنفيذ عدد غير منتهٍ من الخطوات).

هذا الشكل يوضح لماذا يتقارب المجموع إلى 1. لنفترض مساحة المربع 1، ونقسمه إلى نصفين متساويين، ثم نقسم كل من النصفين في النصف مرة أخرى، ثم نقسم واحداً من القطع الجديدة نصفيا، وما إلى ذلك، إلى ما لا نهاية. القطع التي نحصل عليها مساحاتها 1/2، 1/4، 1/8، 1/16، وما إلى ذلك، وهي تطابق تماماً مساحة المربع الأصلي، مما يعني أن مجموع المساحات يجب أن يكون 1. الساعة 12:00، عند اكتمال العملية، كم كرة بينغ بونغ يوجد في حقيبة كلارك؟

حسناً، في كل خطوة كلارك يضيف تسع كرات، وهناك عدد لا حصر له من الخطوات، لذلك سيكون هناك عدد لا حصر له من الكرات في الحقيبة. في الواقع، جميع الكرات المرقمة بالأعداد الصحيحة الموجبة، ستكون في الحقيبة ماعدا الكرات المرقمة بمضاعفات 10. وهذا واضح جداً حتى الآن، المطلوب مجرد القليل من التركيز، لذلك دعونا نضيف بعض الارتباك.

لنفترض، في حين كان كلارك يقوم بتجربته كان صديقه بروس (لديه القوة العظمى كذلك) أيضاً يقوم بتعبئة عدد لا حصر له من كرات البينغ بونغ. ولكنه يستخدم استراتيجية مختلفة قليلاً.

في الساعة 11:00، يأخذ بروس الكرات العشرة الأولى، المرقمة من 1، 2، 3، ... 10، ويضعهم في الحقيبة، لكنه يخرج الكرة رقم 1. ثم في تمام الساعة 11:30، يضع الكرات العشر التالية، ذوات الأرقام 11، 12، ... 20، في الحقيبة، ولكنه يخرج الكرة رقم 2 هذه المرة. وبعد 15 دقيقة، في تمام الساعة 11:45، يضع الكرات ذوات الأرقام 21، 22، ... 30 في الحقيبة، ويزيل الكرة رقم 3. وهلمّ جرا، كل خطوة يضيف الكرات العشر القادمة، ولكن يخرج من الحقيبة الكرة ذات العدد الأصغر.

هل نهج بروس نفس نهج كلارك؟ حسناً، في كل مرة كان يضيف عشرة كرات ويخرج واحدة، لذلك يبدو النهج نفسه. الساعة 12:00، ماذا سنجد عند مقارنة حقائب كلارك وبروس؟

نحن نعلم أن حقيبة كلارك تحتوي على عدد لانهائي من كرات البينغ بونغ، ولكن المفاجأة أن حقيبة بروس ستكون فارغة! نعم فارغة. سيكون قد تم إخراج كل الكرات.

لنفكر في الأمر؛ ما هي أرقام الكرات التي يمكن أن تبقى؟ الكرات مرقمة 1، 2، 3 ... إلى ما لا نهاية، ولكن كل رقم يتوافق مع واحدة من خطوات الإضافة والإزالة اللانهائية وهكذا سيكون قد تم إزالة كل الكرات. على سبيل المثال، تمت إزالة الكرة 20 بالخطوة 20، الكرة 1529 بالخطوة 1529، الكرة 1327821 بالخطوة 1327821. ستنتهي كلها!

كلارك لديه عدد لا حصر له من كرات البينغ بونغ، وبروس ليس لديه شيء!! لكن الأغرب عندما تفكر ماذا سيحدث إذا ما تم التحقق من عدد الكرات في الحقيبتين قبل حلول هذا الموعد النهائي، لنفترض بروس وكلارك تحققا من الحقائب في كل خطوة بدلاً من الساعة 12:00 فقط، ماذا سيجدان؟ كل مرة يتحققان قبل تمام الساعة 12:00، وسوف يجدان لديهما نفس عدد كرات البينغ بونغ بالضبط. فقط في تمام الساعة 12:00، عند اكتمال العملية اللانهائية، سوف يكون هناك اختلاف، ما الفرق، وكيف سوف تختفي كل كرات بروس!

فهم واحتساب النتائج لكلارك وبروس يعتمد على ترقيم الكرات. لذلك دعونا نفترض الآن أن خارقة ثالثة، اسمها ديانا، كانت هناك وتفعل نفس الشيء تضع عشر كرات في الحقيبة، وتخرج كرة واحدة في كل خطوة. ولكن، كرات البينغ بونغ لديانا غير مرقمة ولا يمكن تمييزها أبداً. الساعة 12:00، كم كرة بينغ بونغ سيكون في حقيبة ديانا؟ عذراً، لن تتم الإجابة هنا، ففي هذه المرحلة نكون قد عبرنا من الرياضيات إلى الفلسفة، لذلك هذا السؤال هو للتفكير والجدل.

ربما تعتقد أن كل هذا شيء غير واقعي، لأن المهمات الفائقة ليست ممكنة في الحقيقة؟ حسناً، هذا لا يهم حقاً في الرياضيات. ومن الممكن التفكير فيها، وتحليلها، ودراستها. وهذا ينطبق على أشياء كثيرة في الرياضيات. على سبيل المثال، هل تؤمن المثلثات موجودة حقيقةً؟ لا. لا يوجد شيء من هذا القبيل في العالم الحقيقي، إنها لا توجد إلا في العقول الرياضية، تماماً مثل اللانهاية والمهمات الفائقة والعديد من المفاهيم الرياضية الأخرى، كل "مثلث" نراه هو مجرد تقريب، ولكن هذا لا ينتقص من أهمية وضرورة دراسة المثلثات وخصائصها كما الكيانات الرياضية الأخرى. المهمات الفائقة لا يمكن أن تنفذ فيزيائياً. هل تعتقد أن تلك المفارقات تظهر أن هذه المهمات لا تتوافر حتى منطقياً؟

ماهي علاقة مسألة البينغ بونغ بالرياضيات أو اللانهاية والمجموعات غير المنتهية؟

في كل حالة، نقوم بإضافة عدد لا حصر له من الكرات ونزيل عدداً لا حصر له من الكرات، ولكن ∞-∞ غير معرف ولإجراء تلك العملية لدينا العديد من الطرق المختلفة. وهذا هو في الواقع ما تحدثنا عنه اليوم.

للمزيد من التفكير

- هل يمكن بناء عملية من شأنها أن تترك أي مقدار صحيح موجب من الكرات في الحقيبة عن طريق التحويل من استراتيجية كلارك لاستراتيجية بروس في الوقت المناسب؟ حاول ابتكار استراتيجية تبقي بالضبط خمس كرات في الحقيبة.

- عندما يتم تنفيذ تجربة ديانا، حيث لا يمكن تمييز الكرات. لننظر لخطوة إضافة/إزالة رقم k.

o ما هو احتمال بقاء كرة عشوائية في الحقيبة بعد هذه الخطوة؟

o ما هو احتمال بقاء كرة عشوائية في الحقيبة بعد الخطوة التالية k+1؟

o هل يمكن استخدام هذه النتائج لحساب احتمال بقاء كرة عشوائية في الحقيبة بعد خطوات لا حصر لها؟

o هل يقدم هذا الحساب وسيلة للإجابة عن عدد الكرات المتبقية بعد عدد لانهائي من الخطوات؟

- في حالة بروس، كيف يمكن للكرة النهائية أن تزال دون ترك شيء في الحقيبة، طالما كان دائماً يضيف 10 كرات مباشرة قبل الإزالة؟

المصدر:

هنا