الرياضيات > الرياضيات
عمر الخيّام وإنجازاته الرياضيّة
وُلِد عمر الخيّام عام 1048 للميلاد في مدينة نيسابور و توفي فيها عام 1131، و اسمه الكامل غياث الدين أبو الفتح عمر بن إبراهيم الخيّام، إذ كان والده يعمل في صناعة الخيام و منه اكتسب اسمه الخيّام.
استفاد الخيّام من فترة نضوج الحضارة الإسلامية في تلك الحقبة، إذ أتاحت له المدارس والمكتبات المنتشرة في زمانه اكتساب معرفة واسعة في التاريخ و اللغة و الفقه و الموسيقى و الرياضيات والفلك، فدرس أعمال الإغريق المترجمة إلى العربية، و كذلك ما كتبه من سبقه من علماء عصره، كما سمحت له علاقته بوزير السلاجقة نظام الملك بأن يتفرغ لأعماله و كتاباته، و مكنته من بناء مرصده الفلكي في مدينة أصفهان لاحقاً.
من أشهر أعمال عمر الخيّام ما خطَّه في الشعر، إذ أنَّ قصائده التي نظمها بطريقة الرباعيّات كانت من أهم أسباب شهرته في الغرب، و الرباعيّات نمط من الأشعار الغنائية التي اشتهرت في المشرق و كذلك في المغرب و لا سيما الأندلس، و تتكون كل رباعيّة من أربعة أشطر، للأول و الثاني و الرابع رويّ واحد مختلف عن رويّ الشطر الثالث.
لقد صاغ الخيام برباعيّاته تلك خلاصة فلسفته و نظرته للحياة، إذ تبدو النفحة الصوفية العرفانية جليّة فيها، لدرجة اتهامه بالإلحاد و الهرطقة، اتهام لا يمكن تجنبه إنّ لم تتم قراءة الرباعيّات وفق المصطلحات الصوفية، فكلمة <<الحبيب>> تعني الإله، وكلمة <<النشوة>> تُعبّر عن المشاعر الداخلية التي تنتاب المرء عند تأمله بالذات الإلهية.
التشاؤم والتشكُّك من أبرز المعاني المتضمنة في قصائده، و دفع شعور الخيام البارز بالعدمية للدعوة للتمتع بالحياة الفانية، و ظهرت في بعض أبياته شكواه من سطوة الزمن و تململه من قلة حيلة الإنسان تجاه تدفقه السرمدي، و رغم أن جلَّ ما كتبه كان باللغة العربية، إلا أنه كتب رباعيّاته باللغة الفارسية، و ربما كان ذلك رد فعل لا شعوري لأفول سطوة الفرس على الخلافة العباسية لصالح السلاجقة الأتراك.
كانت تلك الرباعيات أحد أهم أسباب شهرته في الغرب، إذ تم اكتشافها و ترجمتها للإنجليزية من قبل الشاعر الإنجليزي إدوارد فيتسجيرالد، و ترجمت بعد ذلك إلى عشرات اللغات الحية، وفي الهوامش بعض من تلك الرباعيات.
من أعماله الأخرى التي أنجزها في علم الفلك أثناء عمله في مرصد أصفهان، تطويره لأفضل تقويم شمسي و الأكثر دقة، حتى أنه يفوق في دقته التقويم الميلادي الذي تمَ اعتماده في أوروبا في القرن السادس عشر.
ومن أعمال الخيام في الفلسفة، رسالة في الوجود، و الرسالة الأولى في الوجود أو الضياء العقلي، و رسالة في كلية الوجود، و رسالة في الكون والتكليف و غيرها، و ظهر في تلك المقالات تأثير ابن سينا على الخيّام و فلسفته.
إنجازات عمر الخيّام الرياضيّة:
1.رباعيّات الخيام-سِشيري:
استخدم عمر الخيّام رباعيّات أضلاع بحيث يكون الضلعين المتجاورين عموديين على القاعدة في محاولة إثبات مسلمة التوازي، و ذلك في كتابه <<شرح ما أشكل من مصادرات كتاب إقليدس>>.
استخدم تلك الرباعيّات، و بشكل مستقل، العالم الإيطالي سِشيري، فعرفت لاحقاً برباعيّات الخيام-سِشيري.
كان هدف عمر الخيّام إثبات مسلمة التوازي من خلال الوصول إلى تناقض 'خُلف' في الحالات الأخرى، و بالرغم من أن محاولة الخيام كانت أقدم من محاولة سِشيري إلّا أنها كانت أنجح منها، و ربما كانت أعمال الخيّام، و عن غير قصد، أول محاولة لبناء هندسة لا إقليدية، إذ تمثًّل الرباعيّات التي تنتهي بزوايا منفرجة البنى الأساسية للهندسة الكروية، حيث أن الخطين المتوازيين يلتقيان في هذه الحالة، أما في الحالة الأخرى، عندما ينتهي الرباعيّ بزوايا حادة، فذلك يوافق نوع آخر من الهندسة اللإقليدية و هي الهندسة الزائديّة، إذ يبتعد الخطين المتوازيين عن بعضهما عند امتدادهما:
2. كيف حل عمر الخيام معادلات كثيرات الحدود التكعيبية ؟
من أهم ما أبدعه عمر الخيّام حلّ المعادلات التكعيبية هندسيّاً، أي المعادلات من الشكل:
x^3+cx^2+bx+a=0
بالإضافة إلى أهميّتها الجبريّة الكبيرة، ربما تعتبر من أوائل الأعمال في مجال الهندسة الجبرية، إذ تعتمد طريقته على إيجاد نقطة التقاطع بين قطوع مخروطية ذات خواص و أبعاد متلائمة مع أمثال المعادلة المراد حلها.
استخدم عمر الخيّام الدائرة (و هي حالة خاصة من القطع الناقص) و القطع الزائد أو المكافئ حسب المعادلة المعنيَّة لتكون نقاط تقاطع الدائرة مع القطع حلولها الموجبة.
و بغاية التعميم قام عمر الخيّام بتقسيم المعادلات الحديّة التربيعيّة و التكعيبية إلى مجموعات، حسب قيم الأمثال c و b و a :
- المعادلات التربيعية ثلاثية الحدود:
-المعادلات التكعيبية ثلاثية الحدود القابلة للاختزال إلى معادلات تربيعية:
-المعادلات التكعيبية ثلاثية الحدود:
-المعادلات التكعيبية رباعيّة الحدود و التي يكون فيها مجموع ثلاثة حدود مساوياً للحدّ الرابع:
-المعادلات التكعيبية رباعيّة الحدود و التي يكون فيها مجموع حدّين مساوياً لمجموع الحدين الآخرين:
كيف حل عمر الخيّام معادلات كثيرات الحدود التكعيبية؟
لخّص عمر الخيّام في كتابه الذي كتبه باللغة العربية <<مقالة في الجبر و المقابلة>> حوالي عام 1077 جميع المعادلات التي كانت قد حُلَّت على يد من سبقه من علماء عرب و فرس و هنود و إغريق، و مثلت معادلة كثيرات الحدود التكعيبية تخوم ما وصل إليه الرياضيّون إذ بقيت عصيّة الحل، إلّا أنَّ عمر الخيّام ابتكر طريقة هندسية لحلها بالاعتماد على مفهوم القطوع، وفيما يلي سنستعرض بمصطلحات عصرنا طريقة الخيّام لحل تلك المعادلات:
لتكن المعادلة التالية:
x^3+px=q q،p >0 ..... (1)
إنَّ شرط كون q،p موجبين ذو أهمية في هذه الطريقة، و سيجري شرحه لاحقاً.
نجري تغيير متحول كما يلي:
y=1/√p x^2 ⇒ x^2=√p y ..... (2)
نضرب طرفي المعادلة (1) بـ x فينتج:
x^4+px^2=qx ...... (3)
نعوض (2) في (3) فينتج:
py^2+px^2=qx .......(4)
الآن، الخطوة الأكثر أهمية في طريقة الخيّام هي في الإتمام الى مربع كامل فتنتج المعادلة:
y^2+〖(x-q/2p)〗^2=〖(q/2p)〗^2 ...... (5)
بتأمل بسيط في المعادلة السابقة نلاحظ أنها معادلة دائرة مركزها (q/2p،0) و نصف قطرها q/2p ، فحل المعادلة التكعيبية الموضحة في المعادلة (1) هو فاصلة نقطة التقاطع بين الدائرة السابقة و القطع المكافئ المعطى بالمعادلة (2).
و لتوضيح ذلك هندسياً يمكن أن نأخذ المثال التالي:
لتكن لدينا المعادلة التالية :
x^3+4x-8=0
الأمثال هنا p=4 ،q=8 ، عندئذ القطع المكافئ هو: y=1/2 * x^2 و الدائرة هي: y^2+〖(x-1)〗^2=1 التي مركزها (1،0).
إن فاصلة نقطة التقاطع هي الحل الموجب للمعادلة التكعيبيّة، نلاحظ بإجراء مطابقة بينهما أنّ فاصلة نقطة التقاطع أكبر من الواحد بقليل و هي بالتحديد: x=1.365، و يمكن التأكد ببساطة من أن القيمة السابقة هي حل للمعادلة التكعيبية المعطاة.
x^3+4x-8=0 ⇒ 〖(1.365)〗^3+ 4(1.365)-8=8.0033-8≈0
نلاحظ أن الحلّ الهندسي هنا هو حل تقريبي بسبب محدودية دقة أدوات القياس الهندسيّة في زمن الخيّام ، إلا أن البرامج الحاسوبية الحاليّة تعطي فاصلة نقطة التقاطع بدقة كبيرة: x=1.364655608.
بطبيعة الحال هذا هو الحل الحقيقي الموجب من ثلاثة حلول ممكنة، ذلك أنَّ لكل معادلة تكعيبيّة ثلاثة حلول أحدها على الأقل حقيقيّ، و للبحث عن الحلين الآخرين نرسم منحني الدالّة :
y(x)= x^3+4x-8
نلاحظ أنّ المنحني السابق لا يتقاطع إلا بنقطة وحيدة مع المحورX ́OX ، و هي أحد الحلول، و كونها وحيدة فالحلين الآخرين عقديين.
تعامل عمر الخيام بطريقة مماثلة و ممنهجة مع كل أنواع المعادلات التي صنّفها و التي تم عرضها في المقطع السابق، و ذلك باختيار مناسب للقطوع لكل حالة، إلا أن الحلول التي وصل إليها كانت مقتصرة على الحلول الموجبة في كل مرة، و سنستعرض سبب ذلك فيما يلي:
لماذا فشل عمر الخيام في إيجاد الحل السالب؟ و لماذا اشترط أن تكون الأمثال موجبة؟
إن الأعداد العقدية لم تكن معروفة في زمن الخيّام، فوجود ثلاثة حلول لمعادلة حدودية تكعيبية لم يكن بديهياً، كما أن حلّ الخيّام هندسي إقليدي، بمعنى آخر حل فيزيائي، و لشرح ما نقصده بكلمة فيزيائي، نتأمل مجدداً في طريقة الحل، إن x هي طول، مكعبها x^3 هو حجم ما، أي أن الواحدة الفيزيائية له متر مكعب، فلكي نجمع الحد التكعيبي مع الحد الثاني x، و هو حدّ ذو واحدة فيزيائية متر، يجب أن تكون أمثالها p ذات بعد متر مربع، أي أنها تمثل مساحة، وبطريقة مشابهة يكون لـ q بعد فيزيائي متر مكعب، أي أنها تمثّل حجماً. مما جعل طريقة الخيام مقتصرة على إيجاد الحلول الموجبة، فلبعض كثيرات الحدود جذور موجبة أو (و) سالبة أو (و) عقدية ( مع العلم أنَّ أحدها على الأقل حقيقي).
و من الجدير بالذكر أننا باستخدام هذه الطريقة، نستطيع إيجاد كلّ الحلول الموجبة، و التي تكون أحياناً شاملة لكل الحلول، ذلك أنّ لبعض المعادلات التكعيبية ثلاثة حلول موجبة.
و من إسهامات الخيّام الأخرى التي شرحها في نفس الكتاب، منشور ثنائي الحدّ للكرخي-نيوتن، حيث شكلت أعماله امتداداً لأعمال الكرخي، و أظهر الطبيعة المثلثيّة لأمثال النشر و التي عرفت في أوربا لاحقاً باسم مثلث باسكال. و على سبيل التذكرة إنّ منشور ثنائي الحدّ للكرخي-نيوتن:
تُعطى أمثال النشر بما يعرف اليوم بمثلث باسكال التي شرحها الخيّام في كتابه الآنف الذكر:
فالسطر الأول من المثلث هو الأمثال الموافقة للقوة 0، والسطر الثاني هو الأمثال الموافقة للقوة 1، و الثالث هو الأمثال الموافقة للقوة 2 ( والتي تعرف في هذه الحالة بالمتطابقة التربيعيّة) وهكذا..
هامش:
بعض من رباعيات الخيّام و هي من ترجمة أحمد رامي:
أحسُّ في نفسي دبيب الفــــــناء
و لـــــم أصب في العيش إلا الشقاء
يا حسرتا إن حان حيني و لم
يتح لفكري حل لغز الــــــــــــــقضاء
----
لَبستُ ثوبَ العيش لم أُسْتَشَر
و حرتُ فيه بين شتّى الفِكَر
و سوفَ أنضو الثوب عنّي و لم
أُدرك لماذا جئتُ أينَ المقر
----
أفنيتُ عمري في اكتناهِ القضاء
و كشفِ ما يحجبهُ في الخفاء
فلم أجد أسرارهُ و انقضى
عمري و أحسستُ دبيب الفناء
----
تملَّكَ الناس الهوى و الغرور
و فتنةُ الغيدِ و سُكنى القصور
و لو تُزال الحجبُ بانت لهم
زخارف الدُّنيا و عُقبى الأمور
------
لو أنّني خُيِّرتُ أو كانَ لي
مفتاحُ باب القدر المقفلِ
لاخترتُ عن دنيا الأسى أنّني
لم أهبطِ الدُنيا و لم أرحلِ
المصادر
A History of Non-Euclidean Geometry Evolution of the Concept of a Geometric Space
Boris A. Rosenfeld،Springer-Verlag 1988.
التمثيل البياني للدوال من الموقع: