نظريّة النّهاية السّعيدة

استمع على ساوندكلاود 🎧

واحدةٌ من المسائل الرّياضيّة الّتي رغم سهولة شرحها لم يتمكن أحدٌ من حلِّها إلى الآن، مع أنّ الكثيرين من أفضل علماء الرّياضيات عملوا كثيراً في سبيل ذلك ولكن دون جدوى، إنّها مسألة النّهاية السّعيدة. تدور المسألة حول مجموعة نقاط مرسومة في مستوٍ واحدٍ وإمكانيّة الوصل بين هذه النقاط بقطع مستقيمة للحصول على شكلٍ محدّبٍ، أمّا اسم المسألة فله قصةٌ أُخرى سنتعرّف عليها خلال مقالنا.

البداية مع حالة ثلاثِ نقطٍ مستويةٍ ، ولاتقع على استقامة واحدة. من الواضح أنّنا نستطيع الوصل بينها لتكوين مثلثٍ تكون هذه النّقاط الثّلاث هي رؤوس هذا المثلث كما في الشّكل أدناه.

من ثلاث نقط مستوية ليست على استقامة واحدة يمر مثلث

لكن ماذا يحدث إذا كان لدينا أربعُ نقاطٍ مستويةٍ (تقع في مستوٍ واحدٍ) وليس بينها ثلاث نقاط ٍعلى استقامةٍ واحدةٍ؟ طبعاً الجواب هو أنّنا سنصل بينها لتكوين شكل رُباعي، تكون هذه النّقاط هي رؤوسه الأربعة، كما في الشّكل :

بعض أنواع المضلّعات الرّباعيّة

دون أن ننسى أنّ توزيع النّقاط الأربعة قد يؤدي إلى رباعيّ غريب الشّكل ( كما في الشكل أدناه) والّذي لا يشبه على الإطلاق المستطيل أو المربّع والّتي هي أوّل الأشكال الّتي تخطر في الذّهن عند ذِكر الشّكل الرّباعي. لذلك دعونا نضع المزيد من القيود. وليكن السّؤال هل نستطيع رسم شكلٍ رباعيٍّ مُحدّبٍ رؤوسه هي هذه النّقاط الأربعة، (الرُّباعي المُحدّب هو شكلٌ رباعيٌّ قياس كلِّ زاويةٍ من زواياه الدّاخليّة أقل من 180 درجة). الشّكل أدناه هو شكلٌ غير مُحدّب بينما الشّكلين أعلاه على اليمين وعلى اليسار هما رُباعيّان مُحدّبان.

مُضلّع رباعي غير مُحدّب

والرّسومات التّالية توضّح لنا كيف أنّه من غير الممكن أن نحصل دوماً على شكل مُحدّب عند رسم خطٍّ مُغلقٍ لايقطع نفسه ويمرُّ من أربع نقاطٍ مستويةٍ ليس فيها ثلاث نقاط على استقامةٍ واحدةٍ.

من غير الممكن أن نصل أربع نقط مستوية بشكل رُباعي مُحدّب دوماً

طبعاً الأمور تتغيّر عند إضافة نقطةٍ خامسةٍ. فعندما يكون لدينا خمسُ نقاطٍ مستويةٍ ليس بينها ثلاث نقاطٍ على استقامةٍ واحدةٍ، يمكننا أن نصل دائماً بين أربعةٍ منهنّ لتشكيل مُضلعٍ رباعيٍّ مُحدّبٍ. إذاً نقطة إضافيّة تَمنحُنا المرونة الكافية للقيام بذلك. وفيما يلي بعض الأمثلة ( من الممكن في الواقع رسم أكثر من شكلٍ رُباعيٍّ مُحدّبٍ في حالة وجود خمس نقاطٍ مستويةٍ) .

خمس نقط مستوية ليس بينها ثلاث نقط على استقامة واحدة، يوجد دوماً رُباعي مُحدّب أربع نقط منها هي رؤوسه الأربعة

أطلق الرّياضيّ بول أردويس Paul Erdős على هذه النّتيجة اسم (نظريّة النّهاية السّعيدة) لأنّ اثنين من أصدقائه الّذين عملوا على برهانها وهما جورج سزيكيريس George Szekeres و أستير كلاين Esther Klein انتهى بهما العمل المشترك إلى الزّواج. وفيما يلي شيء من عملهما للوصول إلى برهان لهذه النّتيجة.

مزيدٌ من الأضلاع:

السّؤال التّالي هو: كم نقطةً نحتاج حتّى نكون متأكدين أنّنا نستطيع وصل خمسةٍ منها لنحصل على خُماسيٍّ مُحدّب؟

الجواب: هو تسع نقاطٍ ليس فيها ثلاث نقاطٍ على استقامةٍ واحدةٍ. وفيما يلي مثالَين:

تسع نقط مستوية ليس فيها ثلاث نقط على استقامة واحدة، نستطيع دوماً إيجاد خُماسي مُحدّب يمر من خمس نقط منها

كذلك حتّى يكون رسم سُداسي مُحدّب أمراً مؤكداً نحتاج إلى 17 نقطة والرّسم التّالي مثال على ذلك.

17 نقطة مستوية ليس فيها ثلاث نقط على استقامة واحدة، نستطيع دوماً رسم سُداسي مُحدّب رؤوسه ست نقط منها

أمّا سؤالنا كم نقطة نحتاج لرسم شكلٍ سُباعي مُحدّب؟ فجوابه غير معروفٍ والشّيء نفسه ينطبق على الشّكل الثُّماني والتُّساعي .... أو أيّ مُضلّع مُحدّب عدد أضلاعه 6

أردوس وسزيكيرس يعتقدان أنّه إذا كان هناك عددٌ طبيعيٌّ n أكبر من ثلاثة فإنّ عدد النّقط اللازمة للحصول على مُضلّع مُحدّب من n ضلع بشكلٍّ مؤكّدٍ هو:

النّتيجة صحيحة من أجل n=3 ، لأنّ:

وهي أيضاً تعمل من أجل n=4،n=5،n=6 كما هو واضح فيما يلي:

أمّا ما إذا كانت هذه النّتيجة صحيحة من أجل n>6 فهو أمرٌ غير معروف. إردوس وسزيكيريس أرادا أن يُبرهنا أنّ عدد النّقاط اللازم لرسم مُضلّعٍ مُحدّبٍ ذي n ضلع هو دوماً على الأقل 1+2n-2 وأنّه دوماً منتهٍ. بكلماتٍ أخرى تمكّن العالمان من برهان أنّه عن طريق رسم عدد كافٍ من النقاط يمكنك أن تكون متأكداً من أنّ المُضلّع ذي الـ n ضلع المرسوم سيكون مُحدّباً. أمّا مالم يتمّ برهانه بعد فهو: كم هو عدد النّقاط الكافي لذلك.

إنّ مسألة النّهاية السّعيدة هي مسالةٌ مثيرةٌ للاهتمام، فإذا كان النّظام المدروس كبيراً كفايةً ( يمتلك الكفاية من النقاط) يمكننا أن نتوقع وجود ترتيب معيّن فيه ( مثل المُضلعات المُحدّبة هنا) حتّى وإن كان النّظام المدروس ككل لايخضع لأيّ ترتيب. تُدرس هذه الظّاهرة تحت مايُسمى نظريّة رامزي(Ramsey theory). وتستطيع أن تجد المزيد عنها في مسألة الأصدقاء والغرباء الّتي نُشرت سابقاً من هنا

برهان نظريّة النّهاية السّعيدة في حالة n=4 :

بفرض لدينا خمس نقطٍ مُستويةٍ، ولنفترض أولاً أنّنا نستطيع رسم مثلثٍ رؤوسه الثّلاث هي ثلاث نقطٍ منها وأنّ هذا المثلث يحتوي النّقطتين الباقيتين، ولنُسميهما A و B. المستقيم الّذي يمرّ من هاتين النّقطيتين سوف يقسم المثلث إلى قسمين ، بحيث يحوي قسم رأساً واحداً من رؤوس المثلث ويحوي الثّاني الرّأسَين الباقيتين، ولنسميهما C و D .

ليس من الصّعب الآن وباستخدام بديهيّاتٍ هندسيّةٍ بسيطةٍ أن تُبرهنّ أنّ الرّباعي ABCD لا يمتلك زوايا داخليّة أكبر من 180 درجة ( انظر الشّكل أدناه). وهذا يعني أنّه مُضلّعٌ مُحدّبٌ.

ماذا لو لم نستطع رسم مثلثٍ يحتوي النّقطتين الباقيتين؟ على الأقل إحدى هاتين النّقطتين تقع خارج أيّ مثلث يمكن تشكيله من النقاط الثّلاث الأولى، وعندئذٍ سنحصل على الشّكل الرُّباعي المطلوب من رؤوس المثلث والنّقطة الواقعة خارجه (انظر الشّكل أدناه). لأنّه من غير الصّعب مرّة أخرى أن تُبرهن أنّ جميع الزّوايا الدّاخليّة للرُّباعي المُتشكّل أقلّ من 180 درجة، مايعني أنّه مُضلّعٌ مُحدّبٌ.

المصدر:

هنا