الرياضيات > الرياضيات
سلسلة أحجيات أويلر: مسألة بازل.
يبدو مظهرُ هذه الأحجيةِ رياضيّاً أكثرَ من الأحجيات السّابقة، حيث علينا هنا أن نجد ناتج المجموع التّالي:
ما هي هذه الأرقام؟
إذا نظرتم عن قربٍ إلى الأرقام الموجودة في مقام كلِّ كسر من كسور المجموع السّابق:
1,4,9,16,25,36,...
ستلاحظون أنّ كلّاً منها هو ناتجُ مربع
ِ عددٍ طبيعيٍّ:
لذلك بسهولةٍ يمكننا إتمامُ باقي الأرقامِ في المجموعِ لتكونَ:
وبعدها يكون
وهكذا.
لهذا يبدو لنا أن ذلك المجموعُ يملكُ عدداً لا متناهياً من الحدودِ، ولذلك فإنَّ محاولةَ إيجاد ِناتجِ المجموعِ ِيبدو أمراً غيرَ منطقيٍّ. ولكن نحن نعلم أنَّه يمكن لمجموعِ حدودٍ غيرَ منتهٍ أن يتقاربَ إلى نقطةٍ ما: وكلّما أضفنا حدوداً أكثرَ إلى المجموعِ كلّما اقتربنا من القيمةِ الحديّةِ الّتي وضعناها. إذاً فالمسألةُ الّتي نحن بصددها هي إيجادُ تلك القيمةِ الحديّةِ للمجموعِ السّابقِ.
لم يقترح أويلر هذه المشكلةَ بنفسِه، بل كانت موجودةٌ منذ عام 1644 على الأقلّ، وقد عملَ عليها عدَّةُ رياضيّين، شملوا ثلاثةً من أفراد عائلة برنولي، الّتي أخرجت ما لا يقلُّ عن ثمانيةٍ من أعظمِ علماءِ الرّياضيات كما أنّ أحدهم كان معلم أويلر الخاصّ السّابق (جون برنولي). كما أنّ العالم "ليبنيتز" العظيم قد حاول أيضاً العملَ على هذه المسألةِ ولكنّه فشل في إيجاد حلٍّ دقيقٍ. وسرعان ما أصبحت هذه المسألة، الّتي سُميّت تيمّناً بالمدينة الّتي نشأت فيها عائلةُ برنولي (وهي مدينة "بازل")، ذاتَ سُمعةٍ سيّئةٍ.
إنّ الطّريقةَ السّاذجةَ لحلِّ هذه المسألةِ هي إضافةُ أكبرَ عددٍ ممكنٍ من الحدودِ ونرى كم سينتج. والمشكلةُ في مجموعِ "بازل" هي أنَّه يتقارب ببطءٍ شديدٍ. فإنَّ إضافةَ ألفُ حدٍّ (وهي مهمّةٌ شاقّةٌ جداً إن تمت يدويّاً) يعطينا نتيجةً يكون صحيحاً فيها أوّلُ منزلتين عشريّتين فقط، وأمّا الثّالثةُ فتكونُ مختلفةً. ولذلك فالتّقريباتُ الجيّدةُ تتطلّبُ بعضَ الخدعِ الرّياضيّةِ. وقد جاء في إحدى رسائل أويلر: "لقد تمَّ إنجازُ الكثيرِ من العملِ على هذا المجموعِ بحيثُ يبدو أنّهُ من الصّعبِ أن يُنجَزَ شيءٌ جديدٌ، حتّى أنا، وبالرّغم من الجهودِ المتكرّرةِ، لن أستطيعَ أن أتوصّلَ إلى ما هو أكثرَ من مجرّدِ قيمٍ تقريبيّةٍ..."
ولكن في عام 1735 نجح أويلر في ذلك. إنّ إنجازَهُ المدهشُ يتعلّقُ بعددٍ لم يتوقّع أحدٌ أن يظهرَ في هذا السّياقِ، إنّهُ العددُ ∏، وهو نسبةُ محيطِ أيِّ دائرةٍ إلى قطرها:
من الصّعب عرضُ الطّريقة الرّياضيّة الّتي أدّت إلى اكتشافِ أويلر هذا هنا، ولكن يمكنكم قراءة المزيد من هنا: An infinite series of surprises.
المصدر: