سلسلة ملكة الرّياضيّات: أعداد مِرسِن الأوّليّة

استمع على ساوندكلاود 🎧

من المعلوم أنّ الأعداد الأوّليّة هي الأعداد الصّحيحة الموجبة الّتي تقبل القسمة على نفسها وعلى العدد الواحد فقط. وعلى خلاف الأعداد المثاليّة (هنا)، فإنّنا نعلم بشكلٍ قاطعٍ وجودَ عددٍ غير منتهٍ منها، حتّى إنّ إقليدس أثبت ذلك منذ أكثرَ من ألفيّتين (هنا). ورغم كلِّ هذا الوضوح في هذا السّياق، لم نستطع إلى الآن إيجاد صيغةٍ موحِّدةٍ أو معادلةٍ عامّةٍ تمكّننا من تحديد الأعداد الأوّليّة جميعِها، وهنا يأتي دور ما يُعرف اليوم بأعداد مِرسِن.

سمّيت هذه الأعداد باسم الكاهن الفرنسيّ مارين مرسن Marin Mersenne الّذي كان أوّل من درَسها، وهي الأعداد الّتي تنضوي تحت الصّيغة العامّة حيث 𝑝 عددٌ أوّليٌّ، إذ عندما يحقّق عددٌ ما هذه العلاقة، من المحتمل أن يكون أوّليًّا. وهنا تبدأ الأسئلة المتعلّقة بالأعداد الأوّليّة بالظّهور: هل يوجد عددٌ غير منتهٍ من أعداد مرسن الأوّليّة؟ ما الّذي قد يميّز أعداد مرسن الأوّليّةَ عن باقي الأعداد الأوّليّة؟

يعتقد الرّياضيّون باحتماليّة وجودِ عددٍ غيرِ منتهٍ منها، ولكن إلى اليوم لم يستطع أحدٌ أن يبرهن صحّة ذلك بشكلٍ قطعيٍّ. نلاحظ أنّ صيغة أعداد مرسن على صلةٍ وثيقةٍ بالأعداد المثاليّة، فالأعداد المثاليّة الزوجيّة جميعُها تكتب بالشّكل بشرطِ أن يكون عددًا أوّليًّا، إذ رغم أنّ 𝑝 عددٌ أوّليٌّ من أجل كلّ ، ليست أعدادُ مرسن جميعُها أعدادًا أوّليّةً.

وبما أنّها ليست جميعًا أعدادًا أوّليّةً، يُضطَّر الرّياضيّون من أجل العثور على الأوّليّ منها لاختبارها عددًا بعددٍ باستخدام اختباراتٍ عدّةٍ نعرض منها الآتي:

القسمة المتكرّرة: اختبارٌ يهدف بشكلٍ أساسيٍّ لاكتشاف لاأوّليّةِ العددِ الصّحيحِ المُختبَرِ، أو قابليّةِ قسمته على غيرِ الواحد ونفسِه، عن طريق تجريب قسمته على مجموعةٍ من الأعداد الصّحيحة الّتي قد تقسمه.

اختبار لوكا-لمر Lucas-Lehmer: من أجل عددٍ أوّليٍّ 𝑝، يكون العدد أوّليًّا إذا وفقط إذا كان (S(p-1 يقبل القسمة على ، حيث وَ S(1)=4.

وقد أسّس جورج وولتمَن George Woltman مشروعَ بحثٍ عن هذه الأعداد موزَّعٍ بوساطة الإنترنت عامَ 1996 باسم "بحث الإنترنت الكبير عن أعداد مرسن الأوّليّة" أو GIMPS للاختصار، يتطوّع في هذا المشروع مئات الأشخاص حول العالم، حيث يستخدمون حواسيبَهُمُ الشّخصيّةَ للمساعدة بإجراء أجزاءٍ من البحث. عُثِر إلى اليوم على 49 عددًا أوّليًّا من أعداد مرسن، 15 منها عن طريق هذا المشروع، وكلّ عددٍ من هذه الأعداد التّسعةِ والأربعين يقابل أحد الأعداد المثاليّة التّسعةِ والأربعين المكتشفةِ حتّى اليوم. يصادف أن يكون أكبر عددٍ أوّليٍّ عثر عليه إلى الآن عددَ مرسنَ الأوّليَّ التّاسعَ والأربعينَ الّذي اكتُشِف في السّابع من كانونَ الثّاني (يناير) عامَ 2016، وهو ، ويتألّف من 22,338,618 خانةٍ.

قد تبدو محاولة العثور على هذه الأعداد، وطرحِ التّساؤلات حولَها وحول ما يتعلّق بها من قضايا مضيعةً للوقت، ولكن في الواقع، لهذه الأعدادِ أهمّيّةٌ واسعةٌ في نظريّة الأعداد تدفع الرّياضيّين يومًا بعد يومٍ للبحث عن مزيدٍ من الإجابات، ما ينعكس على العلم الّذي بين أيديْنا اليومَ، وبالتّالي على تكنولوجيا الغد.

المصادر:

هنا

هنا

هنا

هنا

هنا