خمس مسائل سهلة الفهم.. عَصيَّة البرهان

استطاعَ العديد من ألمع علماء الرياضيات تقديم براهينَ وحلولٍ لمسائلَ معقدةٍٍ جدًّا على مر العصور، ولكنَّ هنالك بعضَ المسائل التي لا تزال مستعصيةً عليهم، ونقدم إليكم اليوم خمس مسائل رياضية لا يزال برهانها مجهولًا إلى يومنا هذا.

حدسية كولاتز

اختر أيَّ رقم؛ فإذا كان رقمًا زوجيًّا قسّمه على 2، أمَّا إذا كان فرديًّا فاضربه بـ 3 وأضف إليه 1.. والآن كرر تلك العملية برقم جديد. إذا تابعتَ على هذا المنوال فسوف تصل إلى الرقم 1 في كل مرة تفعل فيها ذلك.. يمكنكم أن تقرأوا عن هذا الأمر بالتفصيل في مقالنا السابق هنا (هنا).

لقد جرب علماء الرياضيات ملايينَ من الأرقام وجميعُها انتهت بـ 1 في نهاية المطاف، ولكنْ لم يستطع أحد أن يبرهن أنّ هنالك رقمًا ما لا تنطبق عليه هذه العملية، فقد يكون ممكنًا أن يوجدَ رقمٌ كبير جدًّا ينتهي به الأمر في اللانهاية عوضًا عن الـ 1، أو ربما رقم ما سيكون عالقًا في حلقة ولا يصل إلى الرقم 1 أبدًا؛ ولكن إلى الآن لم يتمكن أحد من برهان ذلك.

مسألة الأريكة المتحركة

لنفترض بأنك تريد الانتقال إلى شقة جديدة وتحاول أن تنقل الأريكة إليها، فالمشكلة هي أنَّ هناك انعطافًا في نهاية الممر، وعليك أن تقوم بتحريك الأريكة لتنعطف. إذا كانت الأريكة صغيرة فلن تواجهك أية مشكلة بتحريكها، ولكن إذا كانت كبيرة جدًّا فسوف تعلَق. إذا كنت رياضيًّا فسوف تسأل نفسك: "ما أكبر حجم يمكن أن تكون عليه الأريكة بحيث أستطيع أن أجعلها تمر في المنعطف؟" وليس من الضروري أن تكون أريكة ذات شكل عادي، بل يمكنها أن تكون على أي شكل.

هذا هو أساس مسألة الأريكة المتحركة، إنها مسألة ثنائية الأبعاد، المنعطف يجب أن يكون بزاوية 90 درجة، وعرض الممر مساوٍ للـ 1.. ما أكبر مساحة يمكن أن يكون عليها شكلٌ ما ثنائيُّ الأبعاد بحيث يكون قادرًا على اجتياز الممر؟

إن أكبر مساحة يمكنها أن تتسع للمرور من المنعطف تسمى بـ "ثابت الأريكة"، ولا أحد يعلم بالضبط قيمة هذا الرقم، ولكننا نملك أرائك كبيرة تحقق المطلوب، لذا نحن نعلم أنه عليها أن تكون تقريبًا بحجمهم، ونعلم أيضًا أن بعض الأرائك لا تحقق المطلوب لذا على الأريكة المطلوبة أن تكون أصغر منهم. وفي النهاية نحن نعلم أن ثابت الأريكة سيكون بين الرقم 2.2195  و 2.8284.

مسألة المكعب الكامل

هل تذكرون نظرية فيثاغورث A2+B2=C2؟ إذ إنَّ كلًّا من المتحولات السابقة ترمز إلى أطوال مثلث قائم الأضلاع. ففي نظرية فيثاغورث؛ جميع الأطوال السابقة هي أعداد صحيحة. دعونا نأخذ المسألة إلى شكل ثلاثي الأبعاد. في البعد الثالث؛ هنالك أربعة أرقام، وكما هو موضح في الشكل؛ فالأرقام هي A,B,C,G. أول ثلاثة هي أبعاد المكعب، أما G فهو القطر الذي يصل الزاوية العليا للمكعب بالزاوية السفلى المقابلة له.

الهدف هو أن نجد مكعبًا بحيث تتحقق العلاقة  A2+B2+C2=G2، وتكون كل الأعداد السابقة أعدادًا صحيحة، وقد جرب علماء الرياضيات عدة احتمالات ولكن لم تنجح أيٌّ منها، ولكن لم يتمكنوا أيضًا من إثبات أنّ مكعبًا كهذا لا يمكن أن يكون حقيقيًّا، لذا لا يزال البحث عن المكعب الكامل مستمرًّا إلى الآن.

مسألة المربع الماسّ داخلًا

إذا رسمنا حلقة مغلقة وليست بالضرورة على شكل دائرة؛ أي يمكن أن تأخذ أي شكل كان وكل ما هنالك أنه على نقطة البداية والنهاية أن تلتقيا ولا يمكن أن تتشكل فيها أية تقاطعات؛ فإنّه يجب أن يكون ممكنًا رسم مربع بداخل هذه الحلقة بحيث تكون كل زاوية من زواياه الأربعة ملامسة لمحيط الحلقة. ووقفًا لنظرية المربع الماسّ داخلًا؛ فإن كل حلقة أو أيّ شكل منحنٍ مسطح بسيط ومغلق يجب أن يكون قادرًا على احتواء مربع بحيث تكون جميع زواياه الأربعة ملامسة لمكان ما على سطح الشكل المغلق.

لقد حُلَّت هذه المسألة لعدة أشكال أخرى،كالمثلث والمستطيل، ولكن لا يزال إيجاد برهان للمسألة هذه بالنسبة إلى المربعات عصيًّا على علماء الرياضيات.

مسألة النهاية السعيدة

سُميَّت مسألة النهاية السعيدة بهذا الاسم لأن عالمَي الرياضيات اللذين عملا على حلها  "George Szekere" و"Esther Klein" تزوّجا في نهاية المطاف.  وتنص المسألة على الآتي:

إذا رسمنا خمس نقاط في أماكن عشوائية على ورقة؛ مفترضين بأنّ النقاط لم تُنظّمْ عمدًا لتقع على خط واحد، فيجب أن يكون من الممكن دائمًا أن نصل أربعًا منها لتشكيل محدب رباعي (وهو شكل ذو أربعة جوانب بحيث تكون كلٌّ من جوانبه بزاوية أقل من 180 درجة). يكمن جوهر هذه المسألة في أنه يمكنك دائماً أن تصنع شكلًا رباعيًّا باستخدام خمس نقاط بغض النظر عن مكان وجود تلك النقاط، يمكنكم قراءة المزيد عن نظرية النهاية السعيدة في مقالنا السابق هنا (هنا)

إذًا هكذا يكون الأمر بالنسبة إلى أربعة جوانب، ولكن بالنسبة إلى شكلٍ ذي خمسة جوانب كالمخمّس، يتبين أنك ستحتاج إلى تسع نقاط، أما شكل المسدّس فسوف تحتاج إلى 17 نقطة، وإذا كان الشكل أكبر من ذلك، فنحن لا نعلم كم نقطة بالضبط ستحتاج إليها، وهنا يكمن اللغز؛ فنحن لا نعلم كم نقطةً نحتاجُ لرسم شكل مسبَّع أو أي شكل أكبر من ذلك؛ والأهم من ذلك، يجب أن تكون هناك معادلة تخبرنا بالعدد المطلوب من النقاط لكل شكل؛ إذ يظنُّ علماء الرياضيات أن المعادلة من الشكل M=1+2N-2 هي المطلوبة، إذ M هو عدد النقاط و Nهو عدد أضلاع الشكل، ولكن إلى الآن لم يتمكنوا من برهنة ذلك لجميع الأشكال.

المصادر:

هنا