ما العلاقة بين المسافات والقيمة المطلقة؟

إنَّ أبسطَ طريقةٍ لفهم معنى القيمة المطلقة هو تعريفها بأنَّها بُعد رقمٍ ما عن العدد صفر في مستقيم الأعداد. فعلى سبيل المثال؛ الرقمان 5 و -5 على بُعدِ 5 خطواتٍ من الصفر على مستقيم الأعداد، ولذلك فإنَّ لكليهما القيمةَ المطلقةَ نفسها 5.

وكما تعلمون؛ فإنَّ المسافةَ بين شجرتين هي مجردُ رقمٍ يخبرك مدى تباعد الأشجار، فلو رسمت نظام إحداثيات في حديقة (وهو في الحقيقة مجرد سطر رقمي) وعينت أحد الأشجار في أصل نظام الإحداثيات (الموقع المحدد صفر)، فإنَّ المسافةَ إلى الشجرة الأخرى هي القيمة المطلقة لموقعها في نظام الإحداثيات الذي رسمته.

على سبيل المثال؛ إذا كانت إحدى الشجرات في الموقع 0 والشجرة الأخرى على بُعد 7 خطواتٍ في أي اتجاه اخترته ليكون الاتجاه الإيجابي، فإنَّ المسافة بينهما هي:

| 7 | = 7.

وإذا كانت الشجرة الثانية بدلًا من ذلك عند -7 في نظامك الإحداثي (في الاتجاه المعاكس)، فإنَّ المسافة إلى الشجرة الأولى هي:

| –7 | = 7.

وبعبارة أخرى؛ بغض النظر عن الاتجاه فإنَّ الشجرة الثانية تكون دائمًا على بُعدِ 7 خطواتٍ.

كيف تجد المسافة بين الأرقام الإيجابية والسلبية؟

نعلم أنَّ القيمة المطلقة لنقطة على مستقيم الأعداد (أو القيمة المطلقة لإحداثي شجرة في حديقة) تخبرك المسافة بين هذه النقطة (أو الشجرة) والرقم صفر في أصل نظامك الإحداثي، لكنْ كيف نجد المسافة بين أيِّ رقمين؟

بمعنى آخر؛ ماذا لو لم تكنْ الشجرة الأولى في مثالنا موجودةً في مركز نظام الإحداثيات؟ وماذا لو كانت إحدى الشجرات عند 2 والأخرى عند –5؟ وكيف تجد المسافة بينهما في هذه الحالة؟

لنبدأ في إدراك أنَّ هذه المشكلة مع الأشجار هي مشكلة تحديد المسافة بين الرقمين 2 و -5 نفسها.

نحن نعلم أن المسافات من 2 إلى 0 ومن 5- إلى 0 تعطى كل منها بالقيم المطلقة

| 2 | = 2

و | –5 | = 5.

وإذا فكرنا في مكان 2 و -5 على خط الأعداد، يمكننا أن نرى أن المسافة بين هذين الرقمين تساوي المسافة من -5 إلى 0، إضافةً إلى المسافة من 0 إلى 2.

وبعبارة أخرى، المسافة بين –5 و 2 تساوي

| –5 | + | 2 | = 5 + 2 = 7

لكنْ هل هذا صحيح دائمًا؟ وهل المسافة بين أيِّ زوجٍ من الأرقام تساوي دائمًا مجموعَ قيمها المطلقة؟

على سبيل المثال؛ ماذا لو أردنا العثور على المسافة بين الرقمين 2 و 5 بدلًا من 2 و –5، هل يمكننا فقط إضافة المسافة من 0 إلى 2 إلى المسافة من 0 إلى 5 للحصول على

| 2 | + | 5 | = 7؟

وهل 7 المسافة بين 2 و 5؟

لا! ويمكنك أن ترى بسهولة وبالنظر إلى خط الأعداد؛ فإنَّ المسافة من 2 إلى 5 ليست 7 ... إنها 3!

إذًا ما الخطأ الذي حدث؟ كيف نجد المسافة بين أي رقمين؟

حسنًا، لمّا كانت القيمة المطلقة لرقم ما هي بُعده عن الصفر؛ فإنَّ مجموع القيم المطلقة لرقمين لا يمثل المسافة بينهما، بل هو بُعد مجموع الرقمين عن الصفر.

عندما يكون أحد الرقمين موجبًا والآخر سالبًا؛ فالأمر كالمسافة بين الرقمين، ولكنْ هذا ليس صحيحًا عندما يكون كلا الرقمين إمَّا موجبًا وإمَّا سالبًا.

ولكنْ ما الطريقة الصحيحة لحساب المسافة بين أي زوج من الأرقام؟

الطريقة السريعة لذلك هي أن المسافة بين أيِّ زوجٍ من الأرقام تُعطى بالقيمة المطلقة لفرقهما.

لمعرفة ما يعنيه هذا، دعنا نعود إلى إيجاد المسافة بين الرقمين 2 و 5.

القيمة المطلقة لفرقهما هي:

| 5–2 | = | –3 | = 3

والتي هي بالضبط المسافة بين 2 و 5، وذلك يعمل مع أيِّ زوجٍ من الأرقام، ويمكنك التحقق من صحة ذلك بالنظر في خط الأعداد.

القيمة المطلقة للفرق بين رقمين أو إحداثياتٍ ما على خريطة أو موقَعين من الأشجار في الحديقة تخبرك دائمًا بالمسافة بينهما.

المصدر:

هنا