إثبات جديد لنتيجة قديمة

مهيتاب ساوهني طالب جامعي في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، لفتت نظرنا ورقته البحثية الأخيرة مع ديفيد ستونر التي تشرح التبادل الذي يقسم جميع المراحل الحسابية الثلاث للتسلسل {N} إلى عدم التقادم.

هذا التقدم عبارة عن ثلاثية مرتبة {(a,b,c)}  

إذ تتعامل هذه الورقة البحثية مع التبادلات الموجودة في المجموعات الصغيرة الفرعية ، وهذا الأسلوب المقتضب جعلنا فضوليين فيما يخصُّ أعمال ساوهني الأخرى.

لكننا اليوم سنتكلم عن إثبات ساوهني البسيط الجديد عن عدم المساواة المثلثية الشهيرة في .

يُقدم ساوهني إثباته الجديد في ورقة بحثية صغيرة التي ظهرت في عدد p218 الشهر الماضي في مجلة College Journal of Mathematics.

دليل غير عادي لمتباينة المثلث:

الإثبات القياسي لمتباينة المثلث يُجرى عادةً باستخدام كوشي-شفارز، ولكنَّ الدليل المستخدم في هذه الورقة البحثية لا يستخدم هذه الطريقة؛ بل يعتمد على التوقعات بدلًا منها.

سنتذكر الآن أن متباينة المثلث الإقليدي بأبعاد N لدى أية متجهات X وY

وهنا هي طويلة الشعاع V:

"الإثبات القياسي" المُشار إليه هنا يُمثل بهذه العلاقات المأخوذة من موقع ويكيبيديا:

يُستخدم كوشي-شفارز هنا للحصول على السطر رقم 4، ولكن يتطلب كوشي-شفارز أيضًا عدة سطور لإثباته، ويمكن كتابة كتاب كامل عن هذا الموضوع.

يبدو الأمر كأن الإثبات المشترك يتتبع طرفي X وY للمثلث، عندما يوجد خط ثالث أقصر ومباشر؛ وهذا ما يقدمه ساوهني.

الإثبات الجديد:

استطاع ساوهني إثبات متباينة المثلث في N بعد استخدام نسخة بسيطة أحادية البعد.

وهنا قاعدة القيمة المطلقة:

إذ إن X وY هما عددان حقيقيان.

حسنًا؛ سنحتاج الآن إلى مفهوم القيمة المتوقعة الرياضية . 

يُحدد ذلك عن طريق الدمج على S، ولكن ما يتطلبه الأمر هنا هو أن تتبع القيمةُ المتوقعة بعضَ الخصائص البسيطة وحسب، ويمكن أن نقول عنها بأنَّها (متوقعة) مثلًا: الإضافة والخطية والقدرة على التعديل على الإثبات.

خاصية طويلة الشعاع المميزة الوحيدة V ضمن  تُقاس بوصفها قيمة متوقعة لناتج ضربها مع شعاع الواحدة؛ وبذلك:

إذ إن C عدد ثابت غير معدوم، لأجل N=2 الأول يأخذ التكامل     حول  الدائرة؛ وهو يساوي الـ 4 مقسمة على ليحسب المعدل؛ إذًا ، قيمة n العليا تختلف لكن الاختلاف لا يهم، فكل ما يهمنا هو أن تكون الـ C ثابتة وغير صفرية.

أمَّا بقية الإثبات فيحتاج إلى البعد 1 من متبادلة المثلث ليذهب من السطر 1 إلى 2.

علينا أن نعترف باندهاشنا برؤية دليل مختلف تمامًا لم يستخدم كوشي-شفارز أو أية متباينة أخرى.

أنيقٌ جدًّا، أليس كذلك؟

من يهتم؟

إن إثبات ساوهني هو ما سيجده علماء الحواسيب النظريون، ثمَّ علينا أن نعترف بإعجابنا بهذا الإثبات المختلف كليًّا الذي لم يستخدم كواتشي شوارتز أو أية متباينة أخرى.

كان من الممكن لإثبات ساوهني أن يكتشفه أحد علماء الكمبيوتر النظريين؛ فالطريقة التي اعتمدها منظمة وأنيقة.

فمن الممكن أن تُحسب طويلة الشعاع بأخذ إسقاطات عشوائية، وهذه القاعدة إحدى بديهيات الرياضيات، شيء نعرفه جميعًا، لكننا لم نصل إليه بمتباينة المثلث.

مما يضرب مثالًا جديدًا عن قوة مفهوم (التجربة).

ثمَّ يشير ساوهني في ملخصه إلى أنه يمكن أن تثبت متباينة كوشي-شفارز من متباينة المثلث، وذلك بعكس الإثبات الموجود أعلاه المأخوذ من ويكيبيديا، ويمكنك اشتقاقه من إثباته.

لكن سيأخذ ذلك مجددًا وجهين من المثلث، في حين يثبت كوشي-شفارز المتباينة مباشرةً.

من الجميل هنا هو أن كلا الإثباتين لا يعتمدان على بعضهما، ومع ذلك هناك جسر جميل بينهما.

مشكلة مفتوحة:

المشكلة الواضحة هنا: هل يمكننا استخدام حيل عشوائيَّة مشابهة لإثبات متباينة أخرى؟

ربما هناك العديد من الإثباتات تنتظر منا اكتشافها، وربما يمكننا مهاجمة متباينة أخرى بهذه الطريقة.

المصادر:

هنا