الأعداد المتسامية

تُعرَّف الأعداد المتسامية بأنها الأعداد غير الجبرية، والسؤال الذي يطرح نفسه هنا: ما الأعداد الجبرية؟ العدد الجبري هو العدد الذي يمكن أن يكون جذرًا أي حلًّا لمعادلة كثيرة الحدود شرطَ أن تكون أمثال المتغير جميعها في تلك المعادلة أعدادًا صحيحة (1). فإذا أنشأنا معادلة كثيرة الحدود ذات أمثال صحيحة، سنعلم أنه أيًّا كانت حلولها ستكون أعدادًا جبرية. فمثلًا؛ بإنشاء المعادلة x²-9x+20=0 وحلها نجد أن العددين 4 و5 عددان جبريان (2). بل ويمكن ملاحظة أن الأعداد الصحيحة جميعها أعداد جبرية بالتمعن في المعادلة x-a=0 حيث 𝑎 عدد صحيح (3)، ويمكن أيضًا ملاحظة أن الأعداد العادية أي الكسرية جميعها أعداد جبرية بالتمعن في المعادلة  bx-a=0 حيث 𝑎 عدد صحيح و𝑏 عدد صحيح غير الصفر (4).

حسب تعريف الأعداد المتسامية وتعريف الأعداد الجبرية أعلاه نستنتج أن العدد المتسامي هو العدد الذي ليس جذرًا لأية معادلة كثيرة الحدود ذات أمثال صحيحة. ومن أشهر أمثلة هذه الأعداد العددان 𝜋 و𝑒 غير العاديَّين أي غير الكسريَّين (5)، ولذلك قد يعتقد بعضٌ أن الأعداد غير الكسرية جميعها متسامية ولكن ذلك غير صحيح، فبإنشاء المعادلة x²-2=0 وحلها نجد أن العدد   عدد جبري (6)، ونعلم مسبقًا أن هذا العدد غير كسري (هنا).

قبل أن يعرف الرياضيون أن العدد 𝜋 متسامٍ، كان لديهم حدس أن غرابة هذا العدد تتعدى كونه غير كسري. ورغم أن الرياضي ليونارد أويلر Leonhard Euler عرّف مصطلحي الأعداد الجبرية والأعداد المتسامية في القرن الثامن عشر، بقيت حقيقة كون هذا العدد متساميًا غير مبرهنة حتى برهنها الرياضي الألماني فيغدِنَند فون لِندِمَن Ferdinand von Lindemann عام 1882.

قد نشعر عند استخدام الأعداد المتسامية أو حتى المرور بها بوجود ما يميزها تمييزًا جوهريًّا عن الأعداد بقيتها، وليس هذا الشعور نابعًا من فراغ، إذ إدراك ما تعبر عنه الأعداد المتسامية والإحاطة به أصعب من إدراك ما تعبر عنه الأعداد الجبرية والإحاطة به. سبب ذلك أن إمكانية استخلاص عدد من معادلة ما تعني أن تلك المعادلة تمكننا من إنشاء ذلك العدد عن طريق إجراء عملية منتهية، وقد يعني عدم إمكانية إنشاء معادلات تمثل هذه الأعدادُ جذورًا لها عدمَ وجود عملية منتهية نستطيع بإجرائها إنشاء هذه الأعداد.

في نهاية القرن التاسع عشر؛ لم يكن معروفًا إلا عدد قليل من الأعداد المتسامية، وذلك رغم معرفة الرياضيين أن هذه الأعداد أكثر من الأعداد الجبرية، إذ صحيحٌ أن الأعداد الجبرية غير منتهية ولكنها قابلة للعد، في حين أن الأعداد المتسامية غير منتهية وغير قابلة للعد. ولذلك برزت حاجة إلى معرفة مزيد من هذه الأعداد بل العثور على طريقة لإنشائها، وهذا ما حمله الرياضي الألماني الكبير ديفد هلبرت David Hilbert على عاتقه، إذ قدم في مؤتمر الرياضيين الدولي International Congress of Mathematicians عام 1900 قائمة من المسائل التي اعتقد أن على الرياضيين أن يدرسوها ويحاولوا حلها في العقود التالية للمؤتمر، جاعلًا مسألة إنشاء الأعداد المتسامية المسألة السابعة في القائمة.

وليست هذه المسألة إلا حدسية وضعها هلبرت تنص على أن العدد a^b عدد متسامٍ بفرض أن 𝑎 عدد جبري غير الصفر والواحد، وأن 𝑏 عدد جبري غير كسري. فمثلًا؛ العدد 2 عدد جبري، والعدد   عدد جبري غير كسري، هذا يعطي أن العدد   عدد متسام (7). وفي عام 1934؛ نشر الرياضي الروسي ألكساندر أوسيبوفش غلفوند Aleksandr Osipovich Gelfond برهانًا دقيقًا على صحة هذه الحدسية متحفزًا ببرهنة الرياضي الروسي روديون كوزمين Rodion Kuzmin أن العدد  عدد متسام بالفعل.

ورغم حل غلفوند إحدى أهم مسائل القرن العشرين الرياضية لم يستطع عرض برهانه في مؤتمر الرياضيين الدولي المعقود في أوسلو Oslo عام 1936، لأن السلطات السوفييتية كانت قد منعته ونظراءَه العلماء السوفييت من السفر لكون علاقاتهم بالعلماء الأجانب محط شبهة لديها نظرًا لتوتر المناخ السياسي بين الاتحاد السوفييتي وألمانيا النازية آنذاك. لم يستطع غلفوند حضور المؤتمر إلى أن عُقد في موسكو Moscow عام 1966، ومع ذلك لم يقدم محاضرة في ذلك المؤتمر. والمفارقة هنا أن الرياضي الإنكليزي آلن بيكر Alan Baker نال قلادة فيلدز Fields Medal إحدى أسمى الجوائز الممنوحة في الرياضيات في مؤتمر الرياضيين الدولي المعقود في مدينة نيس Nice الفرنسية عام 1970 عن تعميم مسألة هلبرت السابعة التي يطلق عليها أحيانًا حدسية غلفوند Gelfond Conjecture.

(1) هي معادلة يمكن كتابتها بصيغة (كثير حدود يساوي الصفر)، وكثير الحدود مجموع عدد من الحدود كل منها جداء عدد ثابت وإحدى قوى متغير ما يُطلق عليه متغير المعادلة، وتسمى ثوابت الحدود تلك أمثال كثير الحدود. الصيغة الرياضية العامة للمعادلة كثيرة الحدود: a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+...+a_n=0، تمثل a₀ وa₁ حتى a_n أمثال كثير الحدود، وتمثل xⁿ وx^n-1 حتى x⁰ (الذي يساوي الواحد) قوى متغير كثير الحدود.

(2) بتحليل كثير الحدود نجد أنه يساوي الجداء (x-4)(x-5) ما يعطي أن للمعادلة جذرين هما 4 و5.

(3) بجمع العدد الصحيح 𝑎 إلى طرفي المعادلة نجد أن للمعادلة جذرًا وحيدًا هو العدد الصحيح 𝑎، ما يعطي أن كلًّا من الأعداد الصحيحة يمكن أن يكون حلًّا لمعادلة كثيرة حدود واحدة على الأقل، ما يؤدي إلى أن الأعداد الصحيحة جميعها أعداد جبرية.

(4) العدد الكسري (أو العادي) هو أي عدد يمكن كتابته بالصيغة  حيث 𝑎 عدد صحيح و𝑏 عدد صحيح لا يساوي الصفر. بجمع العدد الصحيح 𝑎 إلى طرفي المعادلة نجد أن bx=a، وبما أن  فرضًا، نستطيع تقسيم طرفي المعادلة عليها فنجد أن للمعادلة جذرًا وحيدًا هو ، وهذه هي الصيغة العامة للأعداد الكسرية ما يعطي أن كلًّا من الأعداد الكسرية يمكن أن يكون حلًّا لمعادلة كثيرة حدود واحدة على الأقل، ما يؤدي إلى أن الأعداد الكسرية جميعها أعداد جبرية.

(5) العدد غير الكسري (أو غير العادي) هو العدد الذي لا يمكن كتابته بالصيغة المذكورة في (4). قد يعتقد البعض مخطئًا أن العدد 𝜋 يساوي تمامًا الكسر ، إلا أن هذا الكسر وغيره من الكسور ليست إلا قيمًا تقريبية لهذا العدد.

(6) بجمع العدد 2 إلى طرفي المعادلة نجد أن x²=2، حلول المعادلة هي الأعداد التي كل من مربعاتها يساوي العدد 2، ويطابق هذا الوصف عددان هما  و ، ما يعني أن للمعادلة جذرين هما هذان العددان؛ نستنتج أنهما عددان جبريان.

(7) سبق أن قدم أويلر حدسية مشابهة لهذه مع اختلاف بسيط في الفرض يتمثل بكون العدد 𝑎 كسريًّا.

المصادر:

1- هنا

2- هنا

3- هنا

4- هنا

5- هنا

6- هنا

7- هنا