الحواسيب تحل مسائل رياضيات لم يستطع العلماء حلها منذ قرون

يعمل باحثو الرياضيات دائمًا مع بعضهم، حتى ولو كان كل باحث يعمل بمفرده في مكتبه؛ فهم غالبًا ما يتابعون أعمال العلماء الآخرين، ويعتمدون على استنتاجاتهم والمبرهنات التي أثبتت من قبلهم، ثم يكوّنون أفكارًا جديدة خاصة بهم.

يتعرض العلماء لمسائل رياضيات قد تكون سهلة الحل، ولكن الطريقة اللازمة للحل معقدة جدًّا وهم غالبًا ما يبتعدون عنها، ويرفضون حل تلك المسألة مع أنها غالبًا ما تكون مسائل مهمة وقابلة للحل؛ إذ يجتهد الباحثون والمبرمجون من أجل إيجاد تقنيات وبرامج حاسوبية لتسهيل حل هذا النوع من المسائل، فقد انتهى الباحثون من إنهاء برنامج قادر على حل معادلة (S-Unit Equation)، على أمل أن يتمكن باحثو نظريات الأعداد من الاستفادة من مثل هذه البرامج الحاسوبية في أبحاثهم.

في البداية دعنا نعرّف لك ما هي معادلة S-Unit، يعود رمز S في المعادلة إلى مجموعة الأعداد الأولية، مثل:

أما معادلات ديوفانتين (Diophantine equations) فهي المعادلات التي تتكون من أكثر من متغير، ولكن يجب أن تكون جميع حلولها أعدادًا طبيعية، ودرس العلماء هذه المعادلات لفترات طويلة لما لها من أهمية كبيرة في نظرية الأعداد والهندسة.

ولكن ما الهدف من تقييد حلول المعادلة إلى الأعداد الطبيعية فقط؟ بالطبع إن هذا القيد ليس من أجل زيادة الصعوبة وإنما لوجود بعض المعادلات التي لا تقبل إلا حلولًا طبيعية، مثل معادلة لإيجاد عدد السيارات مثلًا هل تستطيع قول -1.22  سيارة هو حل لهذه المعادلة، وفي حالة معادلة تعبر عن عدد أشخاص، هل من الممكن أن يكون الحل هو 2.5 شخص؟ بالطبع لا، يجب أن يكون الحل عددًا طبيعيًّا بدون أجزاء.

ينجذب العلماء لهذا النوع من المسائل دائمًا؛ فهي مسائل صعبة الحل ولكن لها تطبيقات عملية كثيرة ومفيدة. ويظهر اليوم بعض الباحثين قدرة برامجهم عبر استطاعتهم إيجاد حلول لمعادلات ديوفانتين غير محلولة سابقًا، بالرغم من أنهم غالبًا غير مهتمين في حلها ولكنها فقط لإظهار مقدرات برامجهم.

إن البرهان الذي قدمه العالم Andrew Wiles لمسألة فيرما الأخيرة هو أكبر مثال على ذلك؛ ففي عام 1637 ادعى العالم فيرما (Pierre de Fermat) أنه أوجد حلولًا لمعادلة ديوفانتين من الشكل:

Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ

ولكنه لم يقدم أي برهان على ذلك، وبعد 300 عام استطاع العالم ويلز تقديم البرهان. بعد ذلك انتبه العلماء إلى إمكانية حل مثل هذه المسائل، واستطاع العالم ويلز من إيجاد البرهان، ثم تسابق علماء الرياضيات ونظريات الأعداد إلى فهم طريقة ويلز من أجل تطبيقها على مسائل أخرى من هذا النوع.

لا توجد طريقة موحدة لحل جميع معادلات ديوفانتين، ويعمل العلماء على إيجاد وسائل تقنية من أجل حل هذه المعادلات، إذ صنّفت تلك المعادلات إلى صفوف متشابهة، ولكل صف حل يختلف عن حل الصف الآخر.

تستطيع معادلة S-Unit إيجاد حلول لمعادلات ديوفانتين، لمدة طويلة من الزمن استطاع العلماء كتابة معادلات S-Unit يدويًّا، ولكن لإيجاد جميع الحلول تتطلب عمليات معقدة للغاية ولا يمكن كتابتها بواسطة قلم وورقة، ولكن من الجيد أن العلماء حصروا حلول العديد من المسائل الكبيرة لإيجاد حلول معادلة S-Unit الموافقة.

منذ عام 2017 بدأ العلماء ببناء برامج حاسوبية وتقنيات لحل معادلات S-Unit، وفي آذار (مارس) عام 2019 أُعلن عن الانتهاء من إنشاء أول برنامج حاسوبي قادر على حل معادلات ديوفانتين عبر حل معادلة S-Unit الموافقة لها.  تكمن صعوبة حل معادلة S-Unit في وجود عدد كبير من الحلول التي قد تتجزأ إلى حلول أخرى وهكذا، وبمساعدة نظريات العالم آلان بيكر (Alan Baker) وجمعها مع التقنيات البرمجية لـلعالم بين (Benne de Weger)، استطاعوا التقليل من الاحتمالات الممكنة لأجزاء S-Unit، وأصبح البرنامج الذي يحل هذه المعادلات أسرع على نحو ملحوظ.

يأمل علماء الرياضيات أن تساعدهم البرامج التقنية والحواسيب على حل المزيد من المسائل المهمة في نظرية الأعداد، مما يعزز فهمهم لطبيعة الرياضيات وجماليتها.

المصادر:

1- هنا

2- هنا

3- هنا