علماء الرياضيات يقترحون طريقة جديدة لحساب انتشار الضوء

اقترح علماء رياضيات- من الجامعة الروسية لصداقة الشعوب RUDN ومعهد السلامة النووية التابع للأكاديمية الروسية للعلوم NSI RAS- طريقة عددية لحل معادلات تصف انتشار الضوء في وسط ما.

في البداية، لجأ هؤلاء العلماء إلى معادلة إيكانول (Eikonal equation) مع شروط حدية (boundary conditions)، هذا النوع من المسائل لا يمكن حله مباشرةً (أي لا نستطيع الحصول على حل تحليلي للمعادلة)؛ ولهذا طور الرياضيون طريقة عددية لإعادة بناء صورة "لسلوك" الحلول، اعتمادًا على تأدية عدة حسابات.

هذه النتائج يمكن أن تصبح أساسًا لنظرية شاملة للحلول التقريبية لهكذا معادلات تفاضلية، ويمكن تطبيق هذه الطريقة في إنتاج العدسات والبلورات البصرية. يشار إلى أن النتائج ضُمِّنت في مقال نُشر على  صفحات مجلة الرياضيات الحسابية والتطبيقية (Journal of Computational and Applied Mathematics)- وهي مجلة علمية محكمة-.

عزيزي القارئ؛ معادلة إيكانول (Eikonal equation) هي معادلة تفاضلية جزئية لا خطية تصف انتشار الضوء في وسط ما، وهي ضرورية لحل عدة مسائل في مجال البصريات، إضافة إلى ذلك تمكن من ربط البصريات التي تدرس في المدارس (planar optics) وعلم البصريات الفيزيائي أو الموجي (wave optics)، والتي توصف من قبل معادلات معقدة.   

للحصول على حل عددي لمعادلة إيكانول، تعتمد الطريقة التقليدية بالأساس على حل نظام معادلات لا خطية (بعبارة أخرى، الحصول على حل تقريبي دقيق بما فيه الكفاية).

من جهة أخرى؛ سلك هؤلاء العلماء نهجًا مختلفًا، والذي يجعل من السهولة بمكان الحصول على حل لمعادلة إيكانول اللاخطية بناءً على طرائق عددية: وهذا النهج هو تغيير متغير مع إضافة وسيط (parameter).

 هذا التغيير يؤدي بنا إلى معادلات جديدة أبسط من جهة، ومن جهة أخرى تصبح المسألة خطية، لكن حلولها تختلف عن حل المسألة الأصلية، مع ذلك، كلما تناقصت قيمة الوسيط، يلاحظ اقتراب الحلول المرتبطة به من حل المسألة الأصلية (بمعنى أنها تؤول إليها). 

عزيزي القارئ؛ بطريقة تدريجية، عمل علماء الرياضيات - السالف ذكرهم- على إنقاص قيمة الوسيط (بقيمة ثابتة) وحل المسألة الخطية عدديًّا بالنسبة له، ومع كل تغيير في قيمة الوسيط قارنوا الحل الناتج مع الحلول المرتبطة بالقيم السابقة، فلوحظ أن هذا الحل يتغير تدريجيًّا مع تناقص قيمة الوسيط، ووصلوا في النهاية إلى نوع من "الاستقرار" على مستوى الحسابات، ليتبين أن استقرار الحل يتطلب قيمًا صغيرة للوسيط، وهذه النتيجة يمكن عدّها حلًا تقريبيًّا للمعادلة الأصلية اللاخطية، وقد أثبت الرياضيون أن هذه الطريقة تعطي نتائج جيدة إلى حد ما بالنسبة لمسائل النمذجة.

يطلعنا Petr Vabishevich- كاتب الدراسة وعضو المركز البحثي للطرائق الحسابية في الرياضيات التطبيقية بنفس الجامعة (Research Center for Computational Methods in Applied Mathematics of the RUDN University)- على مزيد من التفاصيل عن الطريقة المستخدمة فيقول: "التعقيد الحسابي، أو ما يسمى بـ"التكلفة الحسابية" للطريقة التي استخدمناها لا تقل عن "التكلفة الحسابية" للطرائق الأخرى، ومع ذلك، نحن نحل مسألة  قيمة حدية خطية، وهو أمر أيسر من حل مسألة لاخطية".

إضافة لذلك، عمل الباحث Petr Vabishevich، مع زميله المشارك في كتابة المقال الباحث Alexander  Churbanov، على نمذجة المعادلة من أجل وسط غير متجانس، فمن وجهة نظر فيزيائية، وسط هذه البيئة لا تكون الخصائص الفيزيائية لانتشار الضوء في اتجاهات مختلفة هي نفسها، مع العلم أن مواد تملك هذه الخصائص تستخدم على نطاق واسع في الأجهزة البصرية.

إلى جانب علم البصريات، تُستَخدم معادلة إيكانول للحصول على حل عددي للمعادلات التي تصف حركة السوائل، وهذه النمذجة تعدُّ أمرًا ضروريًّا لخلق صورة واقعية لرسومات الحاسوب، على سبيل المثال لا الحصر، في فيلم قراصنة الكاريبي pirates of the caribbean، لم تُرسم المياه فقط، بل وحُسبت سرعة جريانها على المستوى الفيزيائي، يمكن القول بأن الطريقة التي طورها هؤلاء الرياضيون ستحسن لا محالة سرعة الحساب، والذي يؤدي دورًا أساسيًّا في مثل هكذا حالات.

المصادر:

1- هنا

2- Alexander G. Churbanov et al. Numerical solution of boundary value problems for the eikonal equation in an anisotropic medium, Journal of Computational and Applied Mathematics (2019).

DOI: 10.1016/j.cam.2019.05.016