اختبار شيكا

انتهت العطلة الصيفية، وعاد تلاميذ لندن إلى مدارسهم، ومن بينهم تلاميذ مدرسة ويستمنستر الإعدادية،  دخل الطالب النيجيري "Chika Ofili" ذو الاثني عشر عامًا في ذلك اليوم إلى صفه واتجه إلى معلمته "ماري إليس" (Mary Ellis)  قائلًا: "أريد أن أخبرك بشيء فكرت به خلال العطلة الصيفية". 

تابعت معلمة الرياضيات "ماري" قائلة: كنت قد أهديته كتابًا بعنوان "الخطوات الأولى لحل المسائل" ليطالعه خلال العطلة الصيفية، وكان هذا الكتاب يحوي قائمة لاختبارات قابلية القسمة، وما لفت انتباه "شيكا" عدم وجود اختبار لقابلية القسمة على 7. يبدو أنه فكر كثيرًا بالمسألة فتوصل إلى ما يأتي:

إذا أخذنا الرقم الأخير من أي عدد صحيح، وضربناه بالرقم 5 ثم أضفنا الناتج إلى الجزء المتبقي من العدد سنحصل على عدد جديد، إذا كان العدد الجديد قابلًا للقسمة على 7، فإن العدد الأصلي سيكون قابلًا للقسمة على 7 أيضًا. 

مثلًا: إذا أخذنا العدد 532 

فإن:

والعدد 63 يقبل القسمة على 7، لذلك فإن 532 يقبل القسمة على 7 أيضًا.

وفي الواقع إذا كررت العملية مع النواتج ستنتهي بالرقم 7 أو بالعدد 49؛ وذلك إذا كان العدد الأصلي يقبل القسمة على 7. مثلًا:

العدد 2996

 أُعلن عن اكتشاف "شيكا" في بداية سبتمبر (أيلول) من العام الحالي 2019 وإلى الآن لم يتمكن أحد من دحض كلامه بمثال معاكس. ولكن بقيت هذه النظرية بحاجة إلى برهان رياضي، ولذلك عرضت المعلمة نظرية "شيكا"على شقيقها الأصغر سايمون إليس "Simon Ellis" والذي يُعلِّم الرياضيات ويهواها، "سايمون" أخبر شقيقته لاحقًأ أن الاختبار يعمل إذا بدأت بضرب الرقم الأخير في 12 أو 19أو 26 أو 33 ... ثم أضافت الناتج إلى الجزء المتبقي من الرقم. علاوة على ذلك ، فإن الاختبار يعمل إذا ضاعفت الرقم الأخير ثم  طرحته من الجزء المتبقي من الرقم ، أو إذا ضربت الرقم الأخير في 9 أو 16 أو 23 أو 30 ... وطرحت الناتج من الجزء المتبقي، وفي الواقع يمكن العثور بسهولة على اختبارات مضاعفة وطرح على شبكة الإنترنت. ولكن كانت الطريقة الأسهل هي طريقة "شيكا".  وقد برهن "سايمون" النظرية كالآتي:

ليكن 𝑛  العدد الذي نريد اختبار قابلية قسمته على 7 وليكن  𝑐  "عدد  Chika " (تذكر هذا)!

إن 𝑛 يُكتب بالشكل: 

(𝑏 هو الرقم الأخير ضمن العدد المفروض و 𝑎 هو الجزء الباقي من العدد)

عندئذ:

(بقية العدد زائد 5 أضعاف الرقم الأخير)

أولًا ، يجب أن نبرهن أنه إذا كان العدد (a + 5b) قابلًا للقسمة على 7 ، فإن العدد الذي نختبره b +a10 يقبل القسمة على 7 أيضًا.

إذا كان العدد 𝑐 يقبل القسمة على 7 فإن c = 7k ( علمًا بأن k ∈ Z)

ومن ثم: a + 5b = 7k

لذلك : a = 7k - 5b

ومن ثم: n = 10 (7k - 5b) + b

ومنه: n = 70k - 50b + b

أي: n = 70k - 49b

لذلك: n = 7 (10k - 7b)

وبما أن 10k - 7b) ∈ Z )، فإن 𝑛 يقبل القسمة على 7.

 ومن ثم برهنا أنّه إذا كان عدد شيكا يقبل القسمة على 7، فإن العدد n يقبل القسمة على 7.

الآن نحتاج أن نبرهن العكس: 

أي إذا كان n  يقبل القسمة على 7 فإن عدد شيكا c أيضًا كذلك (وبذلك نكون قد برهنا على أن الطريقة تعمل دومًا):

إذا كان  𝑛  يقبل القسمة على  7 فإن: n = 7𝑙 علمًا بأن (𝑙 ∋ ℤ )

ومن ثم:   10a + b = 7𝑙

ومنه:   b = 7𝑙 – 10a

 عندئذ:   c = a + 5(7𝑙 – 10a)

لذلك: c = a + 35𝑙 – 50a

أي: c = 35𝑙 - 49a

ومن ثم: (c = 7(5𝑙 - 7a 

وهذا يعني أن عدد شيكا يقبل القسمة على 7 أيضًا.

ولكن، لا يزال هناك سؤال واحد آخر يجب الإجابة عنه وهو:

إذا كان 𝑛 لا يقبل القسمة على 7 فماذا سيكون وضع عدد "شيكا"؟

𝑛 لا يقبل القسمة على 7، من ثم يمكن كتابة 𝑛 بالشكل: n = 7m + q علمًا أن q∈﹛1,2,3,4,5,6﹜, m∈ Z,

ومن ثَم:  10a + b = 7m + q

ومنه : b = 7m + q - 10a

ومن ثم: (c = a + 5(7m + q - 10a

ومن ثَمَّ: c = a + 35m + 5q - 50a

أي إن: 

c = 35m - 49a + 5q

ومن ثمَّ: c = 75m - 7a + 5q

وبما أن q عدد بين 1 وَ 6 فلا يمكن أن يقبل 5q القسمة على 7 لأن q∈﹛1,2,3,4,5,6﹜

ومن ثم العدد c  في هذه الحالة لا يقبل القسمة على العدد 7.

 وبذلك يكون البرهان قد اكتمل.

هذا وأعلن في 11 تشرين الثاني نوفمبر من العام الحالي 2019 حصول الطفل "شيكا" على جائزة  "the TruLittle Hero" لاكتشافه هذا.

جرب عزيزي القارئ مع أمثلة، وأخبرنا إذا وجدت مثالًا يناقض نظرية "شيكا".

المصادر:

1- هنا

2- هنا

3- هنا