المسألة الرياضية في لوحات موندريان

تعدُّ اللوحات الأيقونية ذات المستطيلات الملونة للرسام الهولندي الشهير بيت موندريان أحدَ أعظم أشكال الفن التجريدي الحديث، الذي ألهم أجيالًا تلته من الفنانين الطموحين، وسنتحدث اليوم عن اللغز الرياضي الذي يعتريها.

تتألف مشكلة موندريان الرياضية من تقسيم شبكة بأبعاد N*N إلى مستطيلات ومربعات غير متساوية، (بما معناه ألا يتساوى شكلان) على أن يكون الفرق بين أكبر وأصغر رباعي بأصغر قدر ممكن، هذا الطرح سيعطي "النتيجة".

لنبسط الجملة قليلًا، ولنفهمها في صياغة عملية، لنأخذ على سبيل المثال الشبكة 4*4، أحد الحلول الممكنة هو تقسيمها إلى مستطيلين 3*4 ومستطيل واحد 1*4، مما يعطيك النتيجة 8 وهو ناتج طرح مساحة أحد المستطيلين من المستطيل الأصغر.

من الممكن تحسين النتيجة بتقسيم الشبكة إلى 3 مستطيلات، مما يعطيك النتيجة 6.

اللغز 1: 

هناك حل أفضل للمربع 4*4 وهو التوزيع الذي يعطيك الدرجة 4، هل لك أن تحزر ما هو؟

لنبدأ من عام 1915 عندما فهم بيت موندريان مبادئ الحركات الفنية من الانطباعية والتعبيرية والتكعيبية، لتساهم أعماله في تجريد الأشكال وتبسيطها وتقييد اللوحات بالخطوط والمستطيلات المستقيمة ومجموعات الألوان الأولية من (الأحمر والأصفر والأزرق) والألوان (الرمادي والأبيض والأسود)، حاول الرسام أن يعكس توازن الأضداد كالخطوط مقابل الأسطح والأشكال الأفقية مقابل الرأسية والألوان الزاهية مقابل غياب اللون، الذي يحكم العالم والكون بأسره.

استحوذ هذا التوزيع الرياضي للوحات موندريان - اللوحات ذات الأشكال المتعارضة والمكملة لبعضها في الوقت نفسه - على اهتمام علماء الرياضيات الذين طرحوا تحديات أكبر، فتعقيد الحل يزداد كلما أصبحت الشبكة أكبر.

اللغز 2:

هنا ستجد الحل الأفضل لحالة المربع 5*5، ذات الدرجة 4.

في حالة وجود مربع 6*6 يكون الحد الأدنى الممكن هو الدرجة 5، لكن كيف وصلنا إلى هذه القيمة؟ وبذلك ما الحل الأمثل للوحة بمساحة 8*8؟

لنبحث عن الطرائق المختصرة الرياضية.

حاول العلماء منذ نشأة مسألة موندريان البحث عن خوارزمية عامة لحل جميع الحالات المحتملة اللانهائية، لكن لم ينجح أي منهم بعد في حل المشكلة التي من شأنها أن تساعد على إدارة عمليات مفيدة للغاية في مجالات مثل التوزيع وضبط عمليات التجميع.

تبدأ الصعوبة الحقيقية بزيادة أبعاد المربع، فلا نمط أو بنية يمكن أخذه دليلًا أو نقطة انطلاق للحصول على الحل الشامل، لكن من المثير للاهتمام أنه بازدياد قيمة N تصبح النتيجة المثلى مستقرة بدلًا من أن تزداد، كما تستمر في التقلب في كلا الاتجاهين، ولنبسط ذلك؛ قد يكون للمربعات الكبيرة نتائج (الفرق الذي شرحناه أول المقال) أقل من المربعات الأصغر منها، كما يوجد هناك تباين في عدد المستطيلات اللازمة للحصول على النتيجة المثلى في كل حالة.

وبعد الفشل في الحصول على الاختصار الرياضي حتى الآن، بقي الحل للوحة ذات الأبعاد N*N في تقريب النتيجة، عن طريق خوارزميات تختبر كل حالة - كل قيم N - وذلك للحصول على أكبر عدد من الحلول ومقارنة درجاتها.

اللغز 3:

يوجد أدناه أفضل حل للوحة 10*10 وهو 8.

من ناحية أخرى، تحتوي اللوحات 11*11 و12*12 على الحلول المثلى بنتائج أقل من 8، لكن ما حلول كل حالة؟ وما الحد الأدنى للدرجات التي يمكن تحقيقها في كل حالة؟ 

إن مسألة موندريان لغز بسيط لا ينضب، فيمكن توسيعه وتعقيده إلى مالانهاية بزيادة أبعاد الشبكة، مما يعطي اللغز جانبًا مرحًا وجذابًا، لكن غياب الهيكلية والانتظام هو ما يثير غضب علماء الرياضيات.

يمكنك دائمًا تمرين دماغك وتصورك الفني باستخدام مسألة موندريان، وإن لم تعجبك القواعد اختر شرطًا إضافيًّا أو عنصرًا فنيًّا إضافيًّا، مثل استخدام أقل عدد ممكن من الألوان، أو اختيار ألوان حواف من اللون نفسه، لتحصل على لوحات جذابة كتلك المعروضة، وتقترب أكثر من عمل موندريان.

الحلول:

المصدر:

هنا