معادلة الجذور التكعيبية; السهل الممتنع

يساهم علم الجبر في العديد من الأمور الحياتية اليومية، فعن طريقة نصيغ المسائل التي تمثل الكثير من مواقف الحياة وعن طريقه نعيد صياغة هذه المسائل على شكل معادلات ذات مجهول واحد أو أكثر.

من أشهر المعادلات التي تصادفنا المعادلة التربيعية ذات المجهول الواحد، وهي تمتلك الصيغة القياسية الآتية: (1)

وقد درسنا طريقة حلها وإيجاد جذورها في المراحل المدرسية المتوسطة، وربما ما من أحد لا يتذكر طريقة إيجاد جذور هذا النوع من المعادلات.

وسنقف اليوم مع المعادلات التكعيبية (أو من الدرجة الثالثة) بمجهول واحد وهي المعادلات التي تمتلك الصيغة القياسية الآتية: (1)

وهي معادلات لم ندرس طريقة إيجاد جذورها بطريقة قياسية، لذلك أرجو عزيزي القارئ متابعة المقال لتتعرف إلى هذه الطريقة.

تاريخ اكتشاف معادلة جذور المعادلة التكعيبية: (2)، (3) 

لم يستطع أحد قبل عام 1500م حل المعادلة التكعيبية، وفي عام 1500م استطاع عالم الرياضيات الإيطالي (سبيونى دل فييرو Scpione del Ferro) استنباط معادلة لإيجاد جذور المعادلات التكعيبية ولكنه لم ينشرها، لذا لم يعرف أحد بهذا الإنجاز.

وفي عام 1535م استطاع عالم الرياضيات الإيطالي (نيقولو فونتانا تارتارليا Niccolò Fontana Tartaglia) حل مسابقة في الرياضيات تحتوي على معادلات تكعيبية، مما يدل على أن (تارتاليا) استنبط معادلة الجذور للمعادلات التكعيبية على نحو منفصل ولكنه لم ينشرها أيضًا. 

كان هذان الاكتشافان للمعادلة التكعيبية ذات الحالة الخاصة (وهي غياب الحد التربيعي)، بمعنى آخر كانت المعادلة التكعيبية لها الشكل الآتي:

وأخيرًا في عام 1539م، وضع عبقري الرياضيات الإيطالي (جيرولامو كاردانو Gerolamo Cardano) صيغة لمعادلة الجذور المعادلات التكعيبية (المعادلة القياسية ومعادلة الجذور مذكورتان هنا في المقال)، وذلك عقب قيام (تارتاليا) بكشف معادلة الجذور لـ(كاردانو) في أثناء حفل عشاء في منزل الأخير، وبعدها استنبط (كاردانو) معادلة الجذور للمعادلة التكعيبية القياسية، استنادًا إلى اكتشاف (تارتاليا).

ولا نغفل ذكر أن أيًّا من الاكتشافات الثلاثة السابقة، قد اعتمد بصورة أساسية على معادلة الجذور التربيعية.  

معادلة الجذور للمعادلات التربيعية والتكعيبية: (1) 

صيغة الجذور للمعادلة التربيعية هي كالآتي:

وهي صيغة سهلة التذكر والحفظ، ورغم بساطتها لكنها فعالة جدًّا، ولكننا لن نخوض فى كيفية استنتاجها.

ومن المدهش أن العلماء قد أوجدوا بالفعل صيغة لمعادلة الجذور للمعادلة التكعيبية، وسوف نعرضها لك عزيزي القارئ فى السطور القادمة، وبالطبع المعادلة التكعيبية لها ثلاثة جذور، ولكن هنا كل جذر له معادلة منفصلة كما يأتي:  

الجذر الأول للمعادلة التكعيبية

ويمكن اختصار معادلة الجذر الأول للمعادلة التكعيبية، في ثلاثة أطراف رياضية كما يأتي: 

الجذر الثاني للمعادلات التكعيبية

الجذر الثالث للمعادلات التكعيبية

وله الصيغة الآتية:

إذ إن A و B قد عُرِّفا في معادلة الجذر الأول للمعادلة التكعيبية، في حين أن المتغير له الصيغة الآتية:

خاتمة

ولحل المعادلات التكعيبية نحتاج إلى الآتي: 

• تذكر معادلة شديدة التعقيد، وهو ليس بسهولة تذكر معادلة جذور المعادلات التربيعية. 
• إلمام الدارس برياضيات الأرقام المركبة وهو مستوى متقدم فى الرياضيات، قد لا يتوفر لدارسي الصفوف الإعدادية. 
• معادلة الجذور التكعيبية تصف حلولًا حقيقية باستخدام أرقام مركبة وهو شيء متناقض، صحيح أن الأرقام المركبة تلاشى بعضها كلما تقدمنا فى الحل، لكن هذا التناقض ما زال قائمًا.

ملاحظة: (4)

هذا التناقض السابق ينسحب على المعادلات ذات متغيرات من الأس الرابع أو الخامس، في حين توجد معادلة تصف جذور المعادلة من الأس الرابع إلا أنها أكثر تعقيدًا من معادلة جذور المعادلة التكعيبية وهو شيء متوقع، وأنه فى عام 1826م أُثبت أنه لا توجد معادلة جذور للمعادلات ذات أس خامس أو أي أس أعلى. 

أمثلة لتوضيح وجهة النظر المطروحة

مثال أول:

في هذا المثال، وبالتعويض في معادلة الجذر الأول، نجد أنه لا توجد أرقام سالبة تحت الجذر مما يعني أننا لا نحتاج إلى الخوض في غمار الأعداد المركبة، وجذور هذه المعادلة هي:

(4; -2+i*2.449; -2- i*2.449).

مثال ثانٍ:

وبالمثل عندما نعوض بالقيم في معادلة الجذر الأول، نجد أن هناك عددًا مركبًا تحت الجذر التكعيبي، وهذا عكس ما حدث سابقًا، ولإيجاد قيمة الجذر الأول نجد أننا نحتاج إلى تحول العدد المركب إلى الصيغة القطبية حتى يتسنى لنا إجراء إيجاد الجذر التكعيبي له، ومن ثَمَّ إيجاد قيمة الجذر الأول، وهي عملية شاقة وطويلة إذا أُجريت يدويًّا، وأن جميع الجذور - وللمفاجأة - هي أعداد غير مركبة، وجذور هذه المعادلة هي: (2.732; -2; -0.732)

• (*) كلمة من مُعد المقال: أجد أنه من المفيد أن أنوِّه إلى فيديو للبروفيسور (بوركاد بولستر Burkad Polster) الذي عرض فيه هذا الموضوع مع الكثير من الأمثلة، وقد عملت على حل كل تلك الأمثلة التي ذكرها البروفيسور يدويَّا وبالاعتماد على البرامج الموجودة أونلاين، وقد جاءت النتائج، سواء اليدوية أم الإلكترونية، مطابقة لوجهة نظر البروفيسور والأدبيات الأخرى المنشورة. 

المصادر:

1- M. Abramowitz, I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York, USA, 1965. 

2- D. E. Rowe, A. Heeffer, T. Rothman, (2014). “On Remembering Cardano Anew”. The Mathematical Intelligencer, Issue 36, Vol. (4), pp. 53–66.

3- هنا

4- هنا