مسألة جوزيفوس

تبدأ هذه القصة بحصار كان قد أحكمه جنود رومان على 40 جنديًّا آخرين عام (67) قبل الميلاد، وخوفًا من القبض عليهم، آثر الجنود المحاصرون الموت. ارتاب الجندي "جوزيفوس" من الفكرة مما دفعه إلى التزام الصمت والبحث عن حيلة للنجاة بنفسه، وبالفعل، اقترح أن يرتب الجنود أنفسهم ضمن دائرة، ثم يقتل كل رجل من يليه بالعد اتجاهًا مع عقارب الساعة، حتى يتبقى ناجٍ وحيد يقوم بدوره بقتل نفسه. وبالطبع، فقد أراد جوزيفوس أن يكون هو الشخص الأخير كي يلوذ بالفرار، مما يتطلب أن يحدد المكان الآمن ضمن الدائرة(3)، وسنذكر آلية حيلته هذه تفصيلًا.

هب أن هناك عددًا من الأشخاص ينتظمون في دائرة انتظارًا للإعدام، يبدأ العدُّ من نقطة ما في الدائرة ويستمر حولها في اتجاه ثابت، في كل خطوة يُعدم الشخص التالي، ما يسبب تضاؤل العدد ضمن الدائرة حتى يتبقى شخص واحد فقط، قادر على تحديد مصيره بنفسه (1).

تكمن المسألة بأكملها في اختيار المكان الآمن للناجي الأخير، اعتمادًا على العدد الإجمالي للأشخاص N.

يمكننا الملاحظة من الجدول أعلاه أن مواقع الناجين ليست بأرقام زوجية، نظرًا لأن كل الأشخاص في المواقع الزوجية قد قتلوا في الدورة الأولى من العدِّ "كل شخص يقتل من يلي".

لذا، فإنه بعد العدد "r" من الخطوات، نجد مكان الناجي يتحدد اعتمادًا على القيمة 2ⁿ، إذ يُحسب هذا الحد بحيث يكون أقل من العدد الكلي للأشخاص N.

والمثال الآتي (3) يوضح العملية تفصيلًا:

هب أنه لدينا تسعة أشخاص ضمن الدائرة N=9

الجولة الأولى: بما أن كل شخص سيقتل من يليه، إذًا سنحذف كل رقم زوجي من هذه الدائرة، وعندما يصل العدُّ إلى الشخص التاسع، سيقتل بدوره من يليه والذي سيكون الشخص في الموقع الأول.

الجولة الثانية: في هذه المرحلة، سيبدأ العدُّ من الشخص الثالث، مجهزًا على الرجل في الموقع الخامس، وكذلك الرجل السابع سيقتل التاسع.

الجولة الثالثة: بقى لدينا ضمن الدائرة شخصان، في الموقعين الثالث والسابع، وبما أن العدَّ يبدأ مع عقارب الساعة تصاعديًّا، فإن الشخص في الموقع الثالث سيقتل الآخر في السابع، لائذًا بالفرار بوصفه الناجي الأخير.

وإن كان عدد الجنود أكبر من ذلك بكثير، فهل من المجدي اتباع ذات الطريقة؟ نظرًا لحال فلافيوس، فليس من الوقت متسع لحسابات بهذه البساطة والبطء.

هاكم حلًّا للمثال السابق باستخدام قاعدة فلافيوس (2).

حسب القاعدة آنفة الذكر نحسب  n بحيث يكون: 2ⁿ≤9 ، ثم نحسب:

(r فلنرمز للناتج بـ ) 1 = 2³ - 9

وبما أن كل شخص سيقتل من يليه، يضرب الناتج r بالعدد 2:

2 = 1 × 2

وأخيرًا، نضيف للناتج السابق العدد 1؛ لأن العد بدأ من الموقع الأول:

3 = 1 + 2

وبهذا، يكون الموقع الثالث، في دائرة مكونة من 9 أشخاص، هو موقع الناجي الوحيد.

لنحاول مرة ثانية مع 20 شخصًا: من أجل 2ⁿ≤20 يجب أن تكون n=4 عندئذ:

(r) 20 - 2⁴ = 20 - 16 = 4

8 = 4 × 2

(نضرب بالعدد 2 لأن كل شخص يقتل الشخص التالي أي دائما يموت ثاني شخص)

9 = 1 + 8 

(نضيف 1 لأننا بدأنا من الشخص الأول). والناجي في هذه الحالة هو الشخص التاسع.

بهذه البساطة، استطاع جوزيفوس فلافيوس تحديد المكان الآمن ضمن دائرة الجنود ناجيًا بنفسه، مخلِّفًا طريقة خفيفة الظل لمحبي هذا النوع من المسائل، حاذيًا حذو آخرين ممن تجاوزت الرياضيات لديهم الخلو من أي متعة تذكر.

المصادر:

1- هنا

2- هنا

3- هنا