المعادلات التفاضلية – مدخل مبسط

لا يكاد يمرُّ يوم على أي شخص إلا ويكون قد حل عدة معادلات تفاضلية، فعلى سبيل المثال؛ قد لا يعرف المرء أنَّ عبور الطريق هو معادلة تفاضليةٌ معقدة يفعلها عقله تلقائيًّا، والشخص العادي يستخدم التفاضل -كما ذكرنا- تلقائيًّا بغض النظر عن طبيعة دراسته وسنِّه أو جنسه؛ وهذا يدل على الأهمية القصوى للتفاضل فى حياتنا، وفى الواقع لا نستطيع الاستغناء عن حسابات التفاضل (وشقيقتها التكامل) فى أي من مناحي حياتنا اليومية. 

فى هذا المقال نستعرض تعريف التفاضل والتكامل، وننتقل إلى تاريخ التفاضل والتكامل، وأخيرًا نختم بمثال تطبيقي.   

تعريف التفاضل والتكامل: 

يحاول كلُّ علمٍ رياضي دراسة موضوع معين ووضع أسلوب ومعادلات محددة تؤدي إلى دراسته على نحوٍ علمي؛ فمثلًا علم الجبر يختص بدراسة العمليات الحسابية وكذا علم الهندسة يدرس الأشكال، ويأتي علم التفاضل ليضع أسس دراسة تغير الدالة (y) بالنسبة للمتغير (x) وهذه الدراسة تسمى الاشتقاق، ولإيجاد الاشتقاق للدوال نستطيع دراسة سلوك الدالة الرياضي والهندسي عند نقطة محددة، وكذا نستطيع حساب معدلات التغير أو إيجاد ميل المماس لدالة مستمرة، ويقسم حساب التفاضل المساحة تحت المنحنى إلى قطع صغيرة لا نهائية.  

وعلى عكس التفاضل، يأتي التكامل الذي يضع أسس تجميع الأشياء المتناهية الصغر إلى كل واحد، أو بمعنى آخر إيجاد المساحات تحت المنحنيات أو الحجوم فى الأشكال ذات البعدين أو أكثر (1).

وفى المجمل علمي، التفاضل والتكامل يشتملان على نهايات الدوال، الاشتقاق، التكامل، والجمع اللانهائي للسلاسل (1).

تاريخ التفاضل والتكامل: 

من الطريف أن حساب التفاضل والتكامل قد اكتُشف من قبل اثنين من العلماء؛ إذ وضع كلًّا من العالم الإنكليزي (السير إسحق نيوتن Sir Isaac Newton) والعالم الألماني (جوتفريد فيلهلم ليبنتز Gottfried Wilhelm Leibniz) أسس حساب التفاضل والتكامل على نحوٍ متزامن ومنفصل، ومن المستقر حاليًّا أن (نيوتن) اكتشف القوانين أولًا (1665 – 1670م)، في حين أن (ليبنيز) نشر أولًا  (1670م)، ويُعتقد أن (نيوتن) بدأ بقواعد الاشتقاق في حين أن (ليبنيز) بدأ بقواعد التكامل، وقد وصل الاثنين للاستنتاجات نفسها بصورة مستقلة (2).

على الرغم من أن حساب التفاضل والتكامل قد وضع أساسه العلمي في أواخر القرن السابع عشر بأوروبا، لكنَّ التاريخ القديم لليونان شهد ولادة أسس حساب التفاضل والتكامل وانتقل بعدها إلى الصين والشرق الأوسط وأوروبا والهند، وهناك برديات مصرية قديمة تقدِّم حسابات بدائية وبسيطة للحجوم 1820 ق.م. (3).

مثال تطبيقى على حساب التفاضل:

تخيل أنك تقود سيارتك إلى وجهة ما بسرعة تساوي 70 كم/سا، فإذا وصلت إلى وجهتك بعد ساعتين فذلك يعنى أنك قد قطعت مسافة = 70 كم/سا * 2 سا = 140 كم ومِن ثَمَّ حللت معادلة تفاضلية دون أن تدري؛ إذ إنَّ "السرعة" هى معدل تغير المسافة بالنسبة للزمن، وعند ملاحظة معدل التغير للمتغير الذي يدعى السرعة، يُمكننا حساب مقدار المسافة المقطوعة بنهاية الرحلة (4).

فعندما نلاحظ العالم حولنا نستطيع دائمًا ملاحظة معدل التغير لمتغير ما وحسابه بالنسبة للوقت مثلًا أو أي متغير آخر يحلو لنا، وهذا ما يسمى بالمعادلات التفاضلية العادية Ordinary Differential Equations (ODE) (4).

وهذا يعني أن السرعة هي المشتق الأول للمسافة بالنسبة للزمن، في حين أن (العجلة) التسارع هى معدل تغير السرعة بالنسبة للزمن؛ أي أن التسارع هو المشتق الثاني للمسافة بالنسبة للزمن، ومن هنا نستطيع تعريف المعادلات التفاضلية العادية بأنَّها معادلة تشمل متغيرًا معينًا (y) إضافة إلى مشتقاته الأولى و/أو الثانية ... إلخ بالنسبة إلى متغير آخر يُدعى .(x) (4) 

ولكن إذا كان المتغير (y) يتغير بالنسبة لعدة متغيرات، فإننا هنا بحاجة لنوع آخر من المعادلات التفاضلية وتسمَّى المعادلات التفاضلية فى هذه الحالة بـالمعادلات التفاضلية الجزئية Partial Differential Equations (PDE)، وهنا يستلزم إيجاد التفاضل الجزئي للمتغير (y) بالنسبة لكلٍّ من المتغيرات الأخرى. 

ولا تنتهى أنواع المعادلات التفاضلية، فهناك المعادلات التفاضلية التكاملية (وهي تشتمل على تكاملات بجانب التفاضلات) والمعادلات التفاضلية المتجانسة، وكذلك المعادلات التفاضلية الخطية أيضًا، وغيرها (4).

المصادر: