احتمال اختيار عددين أوليين فيما بينهما

دائمًا نتطرق إلى الاحتمالات في حياتنا اليومية؛ كاحتمال هطول الأمطار أو احتمال نجاح مشاريعنا، وتعلمنا في المدرسة أنه لحساب احتمال سحب كرة حمراء من الصندوق نضع عدد الكرات الحمراء على عدد الكرات الكلي؛ حسنًا إذًا لو أردنا حساب احتمال سحب عددين أوليَّين فيما بينهما (أي أنهما لا يملكان أي قواسم مشتركة عدا الواحد) ماذا سيكون الناتج؟ بعضٌ سيقول لا يمكن لأنَّه لدينا عدد غير منتهٍ من الأعداد، ولكن الرياضيات دائمًا تُفاجئنا بنتائجها، في الواقع تَبيَّن أن هذا الاحتمال يساوي تمامًا  ، إنَّ هذه النتيجة (1) في الواقع نتيجة مباشرة من مسألة بازال والتي تنصُّ:

إذ يُعدُّ أويلر من أوائل الأشخاص الذين حلوا المسألة ووجد علاقةً تربط بين الأعداد الأولية وهذه الصيغة وهي: (2)

ومن ناحية أخرى، معنى أنه لدينا عددان أوليان فيما بينهما يعني أنه لا يقبل أحدهما القسمة على العدد الأولي نفسه، وهذا الاحتمال متمم لاحتمال أن يقبلان القسمة معًا هو:   وبفعل ذلك من أجل كل الأعداد الأولية نصل إلى الصيغة السابقة التي بدورها تساوي   

(3)

المصادر: