حكاية الأعداد الصماء

الأعداد الصمَّاء: هي الأعداد التي لا يُمكن التعبير عنها عن طريق قسمة عددين صحيحين، وبصورةٍ أخرى هي الأعداد كلُّها التي كتابتها العشرية غير منتهيةٍ مثل الأعداد e ، وهذه الأعداد تمثيلها العشري يحوي خانات لا منتهية، وقد برهن جورج كانتور(George Cantor) أنَّ مجموعة الأعداد النسبية قابلةٌ للعدِّ، في حين أنَّ الأعداد الصماء أو الأعداد غير النسبية غير قابلة للعد؛ أي هناك أعدادٌ غير نسبية أكثر من الأعداد النسبية دون وجود أي نمط تكراري مثل بعض الأعداد النسبية كالـ e  التي كتابتها العشرية هي 0.333…. (1).

 وقد شغلت هذه الأعداد اهتمام علماء الرياضيات منذ القدم، فعند الإغريق والبابليين كان العدد  مشهورًا بسبب عدم إمكانية إيجاد قيمة فعلية له، إضافةً إلى أنه يُعدُّ أول الأعداد الصماء المكتشفة وجاء البرهان على عدم نسبيته على يد هيباسوس ( Hippasus)، ومِن ثَمَّ اكتُشفت عديدٌ من الأعداد غير النسبية الأخرى وبرهن عدم نسبيتها (1,2).

وعلى الرغم من عدم إمكانية معرفة قيمة العدد  لكنَّه يمكن تعيينه على مستقيم الأعداد برسم مثلث قائم ومتساوي الساقين طول ساقه 1فيكون طول الوتر حسب فيثاغورث هي قيمة ، وبرهن لاحقًا أن أي عدد طبيعي  ليس مربعًا لعدد طبيعي آخر فجذره هو عدد غير نسبي ويمكن تعيينه على مستقيم الأعداد برسم مثلث قائم طول أحد أضلاعه القائمة 1 وطول الضلع الأخرى  (1).

وهناك العدد  الذي يُعد من أشهر الأعداد الصماء على الإطلاق لكونه يُستخدم في كثيرٍ من الأماكن وعلى الرغم من قدمه من أيام البابليين والإغريق لكنَّه لم يُبرهن أنه غير نسبي حتى العام 1761 على يد العالم جوهان لامبرت (Johann Lambert)، وفي يومنا هذا كل يوم تُكتشف خانات جديدة لهذا العدد إضافةً إلى كون تاريخ 14 / 3 هو اليوم العالمي لهذا العدد (2,3).

يُعدُّ عدد أويلر e = 2.71 من أشهر الأعداد الصماء لاستخداماته في شتى المجالات، ظهر هذا العدد على يد جايكوب برنولي (Jacob Bernoulli)، وما يميِّز هذا العدد أنه عند تمثيله بالتابع الأسِّي f(x) = e^x فإن قيمة تغير (مشتق) هذا التابع هو التابع نفسه، وقد جاء برهان عدم نسبيته على يد جوزيف فورييه (Joseph Fourier)، وعمومًا برهن لامبرت أن العدد eⁿ  غير نسبي طالما  عدد نسبي غير معدوم، ويعد تاريخ 7 / 2 اليوم العالمي لهذا العدد أيضًا (1,4).

وعلى الرغم من كثرة الأعداد الصماء المكتشفة لكنَّه ما زال هناك عديدٌ من الأعداد التي تحتاج إلى برهان على عدم نسبيتها مثل الأعداد 𝝅^e, 2^e, 𝝅 + e^𝝅  

(5).

بقي أن نذكرَ أن هناك مجموعةَ أعداد متضمنة في هذه المجموعة تُدعى بالأعداد المتسامية، وهي الأعداد التي لا يمكنها أن تكونَ حلًّا لكثير حدود بأمثال نسبية، وبذلك فإنَّ كل عدد متسامٍ هو عدد غير نسبي لكن العكس غير صحيح؛ فمثلاً:  عدد غير متسامٍ لأنه حل للمعادلة  في حين أنَّ e, 𝝅 أعداد متسامية (6).

المصادر: