تجزئة عدد طبيعي

شغلت نظرية الأعداد موقعًا مهمًّا في تاريخ الرياضيات، وأصبحت من أهم الأقسام فيها، ونظرية الأعداد هي القسم الذي يتناول دراسة الخواص والنظريات التي تتعلق بالأعداد الصحيحة عمومًا والأعداد الأولية خصوصًا، لكن ما يزال هناك بعض المتتاليات المجهولة في هذا القسم كمتتالية الأعداد الأولية، واليوم سنتحدث عن متتالية شكلت تحدّيًا مسلّيًا لعلماء الرياضيات، وهي متتالية تجزئة العدد الطبيعي.

تُعرَّف تجزئة عدد طبيعي n بأنها عدد طرائق كتابة العدد n على شكل مجموع أعداد طبيعية أصغر منه، ويرمز لها بـ p(n)  فمثلًا p(4)=5 لأن: 

إذ نهمل ترتيب الحدود؛ أي إنَّ الطريقة 1+3 هي نفسها 3+1

إنَّ أولَ مَن سأل عن التجزئة هو الرياضي ليبنيز (lebniz) عندما طرح سؤالًا فيما إذا كان تابع التجزئة يأخذ قيمًا أولية لعدد غير منتهٍ من الأعداد إضافة إلى أسئلة أخرى مثل: ما مقدار تزايد هذه المتتالية؟

وهل هناك قانون عام لإيجاد حدودها؟ (1،2) ولاقت هذه المسألة المطروحة اهتمامَ العديد من الرياضيين بدءًا من أويلر (Euler) وغاوس وشور، وقد أحرز العالم رمانوجان (Ramanujan) بالتعاون مع هاردي Hardy) G.H) تقدمًا كبيرًا في دراسة المسألة عندما استطاعا إيجاد العديد من النتائج المثيرة فبرهنوا أنَّ:

p(5n+4)≡0 (mod 5)

p(7n+5)≡0 (mod 7)

p(11n+)6≡0 (mod 11)

وعلى الرغم من وجود كثير من الدراسات على هذه المتتالية، فإنَّه كان من الصعب إيجادُ صيغة مبسطة لها بحيث نكون قادرين على إيجاد قيمة p(n) بسرعة عن طريق n، وقد اشتُقَّت من هذه المتتالية العديدُ من المتتاليات الأخرى، التي تصب كلها في دراسة عدد طرائق تجزئة العدد الطبيعي.

بقي أن نذكر أنَّ لمعرفة الحد العام لهذه المتتالية أثرًا مهمًّا في مجال الاحتمالات والفيزياء الجزيئية وسرعان ما أصبحت من أشهر الدراسات في نظرية الأعداد (2،3).

المصادر: