فندق هلبرت؛ ممتلئ ويستضيف المزيد!

تعود فكرة الفندق اللانهائي لعالم الرياضيات الألماني ديفد هلبرت (David Hilbert)؛ ففي إحدى محاضراته لتوضيح الفرق بين المجموعات النهائية وغير النهائية: إذا كنت تملك فندقًا لانهائيًّا أي يحتوي عددًا لانهائيًا من الغرف مرقمة 1، 2، 3....إلخ، وجميعها ممتلئة، ثم قَدِم للفندق زائر إضافي، يمكنك ببساطة أن تطلب من النزيل في الغرفة 1 أن ينتقل إلى الغرفة 2 والنزيل في الغرفة 2 أن ينتقل إلى الغرفة 3 والنزيل في الغرفة 3 أن ينتقل إلى الغرفة 4 وهكذا كل نزيل في الغرفة k ينتقل للغرفة k + 1، وهكذا تبقى الغرفة الأولى شاغرة لينزل الزائر الجديد فيها. في حين لو كان عدد الغرف محدودًا لا يمكنك أن تفعل ذلك لأن النزيل في الغرفة الأخيرة ليس لديه مكان ليذهب إليه (1-3). 

ماذا لو قدِم للفندق 9 زوار جدد، هل يتسع فندقنا العجيب لهم أيضًا؟ بالطبع؛ بالطريقة السابقة نفسها تطلب من النزيل في الغرفة k أن ينتقل للغرفة k + 9، فالنزيل في الغرفة 1 ينتقل إلى الغرفة 10، والنزيل في الغرفة 2 ينتقل إلى الغرفة 11؛ بهذه الطريقة تصبح الغرف التسعة شاغرة لينزل فيها الزوار الجدد (1- 3).

ماذا مع حافلة لانهائية تحمل عددًا لانهائيًا من الزوار؟ لا تقلق ستحصل على المال منهم جميعًا سنحاول أن نفسح لهم المجال! سنطلب من كل نزيل في الفندق في الغرفة k أن ينتقل للغرفة 2k؛ النزيل في الغرفة 1 ينتقل إلى الغرفة 2، النزيل في الغرفة 2 ينتقل إلى الغرفة 4، النزيل في الغرفة 3 ينتقل إلى الغرفة 6، هكذا تصبح جميع الغرف المرقمة بالأعداد الفردية -عددها لانهائي- شاغرة لتتسع الزوار الجدد (1-3). 

لهذا ما نطرحه هنا يُعد مفرقةً لأن الفندق ممتلئ لكنه لا يغلق أبوابه أمام أي زائر أو حتى أمام عدد لا نهائي من الزوار.

إذا كنت تريد أن تنتقل إلى مستوى آخر في رحلة فلسفة اللانهاية يمكنك إكمال المقال هنا.

لنتخيل الآن وصول حافلتين كل منهما تحمل عددًا لانهائيًا من الزوار يجلسون على مقاعد مرقمة في كل حافلة بـ 1، 2، 3… نطلب من النزلاء الأصليين أن ينتقلوا للغرف 3، 6، 9، 12… أي 3k؛ k رقم غرفة النزيل، يمكنك التفكير بهم كركاب لحافلة ثالثة، الركاب في المقاعد الأولى من كل حافلة يمنحون الغرف 1، 2، 3. أي الراكب الأول في الحافلة الأولى إلى الغرفة 1 والراكب الأول في الحافلة الثانية إلى الغرفة 2 والراكب الأول في الحافلة الثالثة أي النزيل الأصلي في الغرفة الأولى إلى الغرفة 3. والركاب في المقاعد رقم اثنان يمنحون الغرف 4، 5، 6 على التوالي والركاب في المقاعد رقم 3 ينتقلون للغرف 7، 8، 9 على التتالي وهكذا. كما في الصورة:

بالطريقة نفسها يمكنك استضافة أي عدد(k - 1)من الحافلات اللانهائية، ينتقل النزلاء الأصليون إلى الغرف ...k, 2k, 3k فتصبح الغرف من 1 حتى k فارغة وما بين k حتى 2k فارغة وهكذا، فيُستضاف الركاب في المقاعد الأولى من كل حافلة في الغرف من 1 حتى k. الركاب في المقاعد الثانية من كل حافلة إلى الغرف k + 1، k + 2… (1)

لننتقل إلى مستوى آخر مع عدد لانهائي من الحافلات اللانهائية يمكنك تفسير ذلك بـ    سنستضيف الزوار جميعهم كالآتي: نخرج نزلاء الفندق وركاب الحافلات ونرتبهم على شكل شبكة إذ يشكل النزلاء الأصليون صفًا من اليسار إلى اليمين وركاب الحافلة الأولى صفًا آخر تحتهم وركاب الحافلة الثانية صفًا ثالثًا تحتهم ونكمل بالطريقة نفسها ليشكل ركاب المقاعد الأولى من كل حافلة عمودًا وركاب المقاعد الثانية من كل حافلة عمودًا ونكمل في النمط نفسه، وبذكاء نملأ غرف الفندق بأخذ الزوار بطريقة قطرية من الأسفل للأعلى؛ القطر الأول: النزيل الأصلي في الغرفة الأولى ننزله في الغرفة 1، القطر الثاني: الراكب الأول من الحافلة الأولى والنزيل الأصلي في الغرفة الثانية ننزلهم في الغرف 2 و3 على التوالي. القطر التالي: الراكب الأول من الحافلة الثانية والراكب الثاني من الحافلة الأولى والنزيل الأصلي من الغرفة الثالثة ننزلهم في الغرف 4، 5، 6 على التوالي وتستمر الطريقة لملء الغرف (2)

طبقات من اللانهاية

دعنا نتعمق أكثر في اللانهاية، فلعلك تتساءل الآن أكثر عمقًا من عدد لانهائي من حافلات تحمل عددًا لانهائيًا من الركاب؟ نعم تخيل أن هناك مرآبًا بالقرب من فندقنا العجيب هذا المرآب أكثر عجبًا فهو يتكون من عدد لانهائي من الطوابق كل طابق فيه عدد لانهائي من الحافلات كل حافلة فيها عدد لانهائي من الركاب، أي ثلاث طبقات من اللانهاية. هل يمكننا يمكن لفندق هلبرت الممتلئ أن يستضيفهم؟ بالطبع؛ لنجعل الركاب في كل طابق يشكلون صفًا أي كأنهم حافلة واحدة لانهائية وهكذا قلصنا المشكلة لعدد لانهائي من الحافلات التي تحمل عددًا لانهائيًا من الركاب كما في المثال السابق فسنستضيفهم بالطريقة نفسها (2).

يمكننا الذهاب أبعد من ذلك باستضافة زوار بأي عدد محدد من طبقات اللانهاية. مثلًا يمكننا إضافة طبقة أخرى من اللانهاية لمثال المرأب السابق؛ مثلًا إذا وُجد عدد لانهائي من المرائب كل منها فيه عدد لانهائي من الطوابق في كل طابق عدد لانهائي من الحافلات كل حافلة تحمل عدد لانهائي من الركاب. يمكننا استضافة الزوار جميعهم في الفندق. ما يعجزنا أخيرًا استضافة عدد لانهائي من طبقات اللانهاية (2, 3).

المصادر: