دالة خاصة جدًا

إنَّ الدوال الخاصة هي دوال سريعةُ الحضور في حلِّ كثيرٍ من المسائل الرياضية والهندسية، فضلاً عن كونها تؤدي دورًا مهمًّا في نظرية تقريب الدوال، إضافةً إلى أنَّ الدوال الخاصة تمتلك من المهارات والآلياتِ الرياضية الفائقة القدرة على التبسيط والاختصار، فهي تُسهِم بطريقة رائعةٍ في تسهيل كثيرٍ من الحسابات العلمية الصعبة والمعقدة، وتقدم طريقة ناجحةً جدًّا لتوفير الوقت والجهد.

وسنُلقي الضوء على دالة من الدوال الخاصة، وهي دالة غاما التي قدَّمها عالم الرياضيات السويسري ليونارد أويلرLeonhard Euler-  ( 1707 - 1783) بهدف تعميم العامل على عدد غير صحيح؛ نظرًا لأهميتها الكبيرة (1,2).

في الواقع دالة غاما ما هي إلا تكامل معتل (شاذ) لا يُمكن حسابه باستخدام طرائق التكامل المعروفة (1,3)، وعليه يرمز لدالة غاما بالرمز   وتُعرّف بالصيغة:

ولعل أبرز خصائص الدالة غاما أنها دالة متقاربة لكل قيم  ، أي بمعنى أنها تُعطي قيمًا حقيقيةً وليس ما لا نهاية عند كل قيمة x تنتمي إلى المجال   وبشرط وجود النهاية:

وبما أن التكامل   متباعد عند قيم x≤0 ، فإن دالة غاما ستكون متباعدة أيضًا. وتسمى دالة غاما -أيضًا- بدالة المضروب. 

إذا كان nهو أي عدد صحيح موجب فإن: 

ويمكن برهان ذلك عن طريق اعتبار:

فإذا وضعنا بدلًا من x أي عدد صحيح موجب n فإننا نحصل على:

وبما أن: 

فإنه يكون: 

المصادر: