رياضيات الحب

تُعد روميو وجولييت (Romeo and Juliet) إحدى روائع الكاتب البريطاني شكسبير (1) (W. Shakespeare)، مسرحية جرت وقائعها على أرض فيرونا بإيطاليا، صراع بين عائلتين نبتت من تربتهما زهور عشق، روميو من عائلة منتيغيو, (Montague) وجولييت من عائلة كابوليت (Capulet). تبدأ الحكاية بحضور روميو حفلةً تنكريةً تنظمها عائلة جولييت كل سنة، فرأى جولييت وبدأت شرارة الحب بينهما، ليتزوجا سرًّا تلك الليلة، بعد مشكلات طاحنة بين العائلتين بسبب الأمر، فيتجرع روميو السم بعد تقبيله لجولييت النائمة، التي تستيقظ لتجد حب قلبها قد غادر الحياة، فتمسك خنجره وتغرزه في صدرها، لتغادر الحياة وتلحق به؛ مما أدى للصلح بين العائلتين، ليصبح روميو وجوليت رمزًا للحب اللامشروط (1) .

سنة 1988 حاول ستيفن ستروغاز (Steven Strogatz)  -للمرة الأولى- وضع نموذج رياضياتي (2) يصف ديناميكية الحب بين شخصين (2,3)، سمّاهما روميو وجولييت، بعده في سنة 2004 تطرق جوليان كلينتون سبروت (Julien Clinton Sprott) إلى النموذج نفسه (4) مع وضع نماذج أخرى مبنيةٍ أساسًا على عمل ستيفن، وسنشرح الآن كيف بُني النموذج، فقد وُضِعَ متغيران:

1. R(t): حب روميو لجولييت في اللحظة t.

فإذا كان لـR(t)  قيمة موجبة، فهذا يعني أن هناك حبًّا بين روميو وجولييت، أما إذا كان سالبًا فالحال عكس ذلك، وهو ما وصفه الباحث بالكره.

2. J(t): يعبر عن حب جولييت لروميو أو كرهها له، كما هو الحال أعلاه.

 t:  هي وحدة الزمن التي نعتمدها، والتي قد تكون اليوم مثلًا أو الأسبوع… إلخ.

عزيزي القارئ، إذا كنت تتجول في طريق ما، واعتبرنا x هو موضعك في اللحظة t، إذًا سرعتك اللحظية V في اللحظة t ما هي إلا مشتقة x في هذه اللحظة، بمعنى:

V(t) =x'(t)

ربما يمكن هكذا أن نبسِّط لك فكرة أن اشتقاق "شيء" يعبر عن تغيُّر هذا "الشيء".

نعود لموضوعنا: 

R'(t) = تغيُّر مشاعر روميو تجاه جولييت عبر الزمن. 

J'(t) = تغيُّر مشاعر جولييت تجاه روميو عبر الزمن.

اعتمد عالمنا على النموذج الرياضياتي (3,4):

هذه المعادلات يمكن أن تصف تغيُّر المشاعر بينهما عبر الزمن (2,3). 

علمًا أن a وb  يميزان "أسلوب روميو الرومانسي"، في حين كلٌّ من c وd "أسلوب جولييت الرومانسي".

ولأن القيم الموجبة لـ R' تعني أنR تتزايد عبر الزمن -والعكس إن كانت قيم R' سالبة-، والأمر ذاته ينطبق على J، فلا تهم قيم الأعداد a وb وc وd بقدر ما تهم إشارات هذه الأعداد.

نكون هنا أمام أربع حالاتٍ حسب إشارة الأعداد a وb:

1. شَخْص مُجِدٌّ فِي العَمَل (Eager beaver):  في حالة a>0  وb>0.

 روميو تشجعه مشاعره الإيجابية تجاه جولييت ومشاعرها الإيجابية تجاهه "حسب تصوره".

 2. أناني مهووس (Narcissistic nerd): في حالة a>0 وb<0.

 روميو يريد أن يتقرب أكثر من جولييت، لكنه يتراجع لكون مشاعر جولييت تشجعه على الاقتراب.

3. عاشق حذر  (Cautious lover):  في حالة a < 0 وb > 0.

روميو في حالة عاشق حذر يتجنب رمي نفسه على جولييت ردًّا على مشاعره لها، لكنه في الوقت ذاته تشجِّعُه مشاعرها الإيجابية -حسب تصوره- نحوه.

4. ناسك  (Hermit): في حالة a < 0   وb < 0.

روميو يكره أن تحبه جولييت ويحب أن تكرهه جوليت، لهذا يتراجع عن مشاعره لها كما تتراجع هي.

هذه أربع حالات "لأساليب الرومانسية" بالنسبة لروميو، والأمر نفسه ينطبق على جولييت حسب إشارة c وd، ومن ثم يمكن أن نقع في حالة أو أكثر إذا كان أحد الأعداد منعدمًا.

فتُطرح هنا أسئلة عدة من قبيل هل تنجح علاقة بين روميو ذي أسلوب "شَخْص مُجِدّ فِي العَمَل" (Eager beaver) وجولييت ذات أسلوب رومانسي من نوع "عاشقة حذرة"  (Cautious lover) مثلًا (4)؟

عندما نريد أن نحل معادلة تفاضلية، نحتاج أحيانًا إلى الشرط الابتدائي (initial condition) من أجل تحديد الحل؛ مثلًا في اللحظة 0 = t -أي بداية الظاهرة- ومن ثم R(0) يمثل الانطباع الأولي لروميو عن جولييت، وJ(0) يمثل الانطباع  الأولي لجولييت عن روميو، بعيدًا عن التعقيدات والحسابات الرياضية، سنخلص إلى نتائج المقال (4)، ففي حالة ما إذا كان روميو وجولييت لا يدركان حقيقة مشاعرهما نحو بعضهما، أي a = d = 0، نقع في ثلات حالات:

حبيبان:  في حالة b > 0, c > 0، وهنا إما حب متبادل وإما كره متبادل.

مهووسان: في حالة b < 0, c < 0،  أحدهما يعشق والآخر يكرهه.

مهووس وعاشق: في حالة bc < 0،  دوائر من الحب والكره.

نتائج هذه الحالات مرتبطة بالشروط الابتدائية للمعادلات، مما يعني أن الانطباع الأولي first impression مهم للغاية. تطرق المقال العلمي لحالات عدة، مثلًا: روميو ذو أسلوب رومانسي من نوع (Eager beaver) وجولييت ذات أسلوب رومانسي من نوع (hermit)، ومثلًا: وروميو ذو أسلوب رومانسي من نوع (Narcissistic nerd) وجولييت  ذات أسلوب رومانسي من نوع (cautious lover)؛ أثبت أن هذا النوع من العلاقات بينهما مرتبط مصيره بالانطباع الأوليّ، وأيضًا بسؤال "هل يضعون أنفسهم أوليةً في العلاقة أم العكس؟" (4).

ناقش المقال أيضًا مسألة مثلث الحب التي نؤجلها لوقت آخر؛ نشير إلى أن هناك نماذج أخرى فقط لمحاولة فهم كيفية تطور العلاقة بين شخصين، لكنها معقدةٌ قليلًا (5, 4).

يمكننا أن ننتهي إلى كون الانطباع الأول يؤدي دورًا مهمًّا في تطور العلاقات الإنسانية.

في مجال الرياضيات عند بناء نموذجٍ يصف ظاهرةً على أرض الواقع، لا نقول: إنه نموذج  يترجم الواقع بلغة الرياضيات، بل نقول: إن النموذج واقعي، ويجب تطويره ليصبح أكثر واقعية؛ ليس هناك نموذج يترجم الواقع بحذافيره، وربما تكون المعادلات محاولةً لفهم ظاهرةٍ غريبةٍ وعجيبةٍ كالحب، وربما تشبه دراسة كيفية تطور الحب بين طرفين، تجربة الشقين مع الإلكترونات (6)، وتأثير المراقب (Observer effect)، فمن هو داخل التجربة لا يرى ما يراه من هو خارجها، وربما تكمن صعوبة دراسة المشاعر رياضيًّا في كون تقييمنا للأمور يختلف من شخص لآخر، ولكنها الرياضيات تحب أن تتدخل في كل شيء مهما كانت الصعوبات.

تدقيق لغوي: عبد الرحمن عطية

المصادر: