هل يمكن رفع عدد لأُس مصفوفة

تعلمنا في المدرسة ما الذي يعنيه أن ترفع عدد حقيقيًّا لقوة -أس- عدد من الأعداد النسبية، أي  ، فما الذي قد يعنيه أن ترفع عدد حقيقيًا لأس مصفوفة، بالتحديد e^At حيث e هو العدد النيبري -ثابت أويلر (Euler's number)- وA مصفوفة مدخلاتها أعداد حقيقية؟

حل المعادلة التفاضلية  هو  ، حيث k وc عددان حقيقيَّان.

لذلك، من الطبيعي أن نتساءل عن إمكانية حل نظام من المعادلات التفاضلية  -حيث A مصفوفة رتبتها nn، و X متجه عمودي (column vector) من المتغيرات- بنفس الطريقة؛ أي أن يكون الحل   (1).

لكن علينا أن نعطي معنى لهذه المصفوفة الأسية. يمكننا تمثيل الاقتران الأسي e^at باستخدام متسلسلة القوى (power series) الآتية: 

وهي متسلسلة تتقارب (converges) لكل t، لنستبدل العدد a بالمصفوفة المربعة A، والواحد بالمصفوفة المحايدة I ذات الرتبة  ،nn أي كل مدخلاتها ما عدا القطر الرئيسي أصفار (2): 

وكل حد هو مصفوفة مربعة رتبتها nn، حيث:  ، n من المرات معرفة باستخدام ضرب المصفوفات (1).  

باشتقاق حدود هذه المتسلسلة حدًّا حدًّا (نظرًا لطبيعة التقارب) (2):

إذًا e^At تحقق المعادلة التفاضلية  ، حيث (2).

وإذا كانت المصفوفة قطرية، تكون المصفوفة الأسية لها (1,2):  

بالإضافة إلى حل أنظمة من المعادلات التفاضلية، تستخدم المصفوفات الأسية مثلًا في دراسة الشبكات؛ الشبكات هي نماذج لدراسة الأنظمة المتشابكة سواءً في الطبيعة أو في الشبكات التكنولوجية من صنع الإنسان. ويمكن نمذجة هذه الشبكات بشكل مجرد باستخدام المخططات؛ وهي رسومات تتكون من رؤوس أو عُقَد (vertices) وحواف (edges). أحد أهم الأسئلة في دراسة هذه الشبكات هو كيفية تحديد العقدة الأكثر أهمية، مثلًا البروتين الأساسي في شبكة التفاعلات البروتينية في الخلية، أو الأنواع الرئيسية في الشبكات البيئية والحيوية، الكاتب الأكثر تأثيرًا في شبكات التعاون العلمي، وغيرها كثير. وتسمى القياسات الحسابية لأهمية العقد بـ"قياسات المركزية" (centrality measures)(3). تستخدم المصفوفات الأسية في دراسة هذه القياسات.

وتستخدم أيضًا في تحويل النظم الديناميكية المعتمدة على فترات زمنية متصلة إلى أخرى معتمدة على فترات زمنية متقطعة (4).

إعداد: Aseel Kmail

المصادر: