صوفي جيرمان تدحَضُ مبرهنةَ فيرما

ملاحظةٌ في هامشِ صفحةٍ من كتابِ الحسابِ Arithmetica لديوفانتوس Diophantis، كتبها المُحامِي المُولَعُ بالرِّياضيَّات فيرما Pierre de Fermat، تنُصُّ على: "لا يُمكِن تَجزِئة مُكعَّب إلى مجموعِ مُكعَّبين، أو عدد مرفوع للقوة 4 إلى مجموع عددين مرفوعين للقوة 4، أو على نحو عام أي عدد مرفوع للقوة n إلى مجموع عددين مرفوعين للقوة  n حيث  n>3؛ وجدت برهانًا مدهشًا لا يمكن لهذا الهامش الصغير أن يحتويه". لقد ادَّعى بيير دي فيرما عامَ 1637 أنَّ لدَيه إثباتًا مُدهشًا يُبيِّنُ فيه أنَّ المُعادلةَ aⁿ+bⁿ=cⁿ حيث c ,b ,a أعدادٌ طبيعيَّةٌ وn>3، ليس لها حل، ولكن إلى الآن لم يُعثر على برهانٍ له (1).

مثابرتُها وشغَفُها بالرِّياضيات دفعَا صوفي جيرمان Sophie Germain إلى الخوضِ في تحدٍّ تحيطُ به تحدياتُ زمنِها -الذي مُنعَت فيه النِّساءُ من أغلب حقوقِهنَّ كأنْ يتعلَّمنَ، فكانت الجامعة حِكرًا على الرِّجال-. تعلَّمَت الرِّياضيات بمفردها كُلِّيًّا حتى أصبحت في الثامنة عشرة رغم معارضة المجتمع وأهلها. راسلَت كثيرًا من العلماءِ في ذلكَ الوَقت في جامعة فرنسية رفيعة المستوى Ecole Polytechnique، مِن أمثالِ لاغرانج Lagrange ولوجندر Legendre وغاوس Gauss وغيرِهم محاولةً الاستفادة مِنهم بحِيلةٍ جَابهت بها واقعها (2). فقد كانت تحصل على محاضرات في الرِّياضيات من طالبٍ يُدعى لوبلانك Le Blanc، وبعدما مات في الثورة الفرنسية، انتحلت شخصيته لتراسل باسمه أولئك العلماء. زاد اهتمامها بمبرهنة فيرما الأخيرة فكانت إحدى رسائلها غير المنشورة للعالم غاوس عام 1819 تتضمن شرحًا لفكرتها الأساسية في إثبات مبرهنة فيرما الأخيرة؛ سعت لبرهانها عندما يكون الأس عددًا أوَّليًّا. ومن بين نتائجها غير المنشورة ما يُعرف اليوم بمبرهنة جيرمان التي ذكرها لوجندر عام 1923 في منشورٍ له ونسبها إليها، تنص على أنَّهُ:

لأي p أس أولي فردي، إذا وُجِد عدد أوَّلي θ بحيث لا يوجد باقيان لقوَّتين من الدَّرجة p متتاليان غير صفريين بالمقاس θ، وp ذاتها ليست باقيًا لقوَّة من الدَّرجة p بالمقاس θ، عندئذٍ لأي حل لمعادلة فيرما z^p=x^p+y^p، واحد من y ,x أو z سوف يقبل القسمة على p².

فمثلًا لو أردنا البرهان للعدد الأولي الفردي p=3، فللعدد الأولي θ=13 علينا برهان أنَّه لا يوجد باقيان غير صفريين لمكعَّبين بالمقاس θ=13 متتاليان، إذ إنَّ بواقي التكعيب بالمقاس θ=13 هي 1, 5, 8, 12، وp=3 ليست بين تلك البواقي. عندئذٍ لأيِّ حلٍّ للمعادلة z³=x³+y³ فإنَّ أحد العناصر z ,y ,x  سوف يقبل القسمة على p²=9. صاغت جيرمان مبرهنتها لأي عدد أولي في صورة 2p+1 وp أوّلي (3).

هي المرأة الوحيدة التي كرَّست جُهدًا كبيرًا في صوغ برهانٍ لعكس ما فرضه فيرما، وأوَّلُ علماءِ الرِّياضيات الذين صاغوا برهانًا لها (4). لكن لَم يَكن هناك إثباتٌ كاملٌ للمُبرهنةِ حتَّى عام 1995، إذ قدَّمَهُ آندرو ويلز Andrew Wiles مع إسهَامٍ لعلماءَ آخرِين (1).

استخدم عديد من المؤلفين بعض نتائج صوفي التي برهنَت بعضَها، دون الإشارة أو الاعتراف بأنَّها لها، غير أنَّه من المعروف أنَّ جيرمان لم تكن تنشر رسائلها والملاحق التي كانت تكتب بها المبرهنات والنتائج، ولذلك لم تكن معروفةً أعمالها بالضبط حتى بداية القرن الواحد والعشرين عندما بدأ بعض الباحثين في الرِّياضيَّات أمثال Andrea Centina، David Pengelley، وReinhard Laubenbacher، بدراسة المخطوطات غير المنشورة لجيرمان والمحفوظة في متاحف بإيطاليا وفرنسا وكتابة أوراق علمية فيها.

ماتت قبلَ أن تُمْنَحَ درجة الدكتوراه الفخرية من جامعة غوتنغن University of Gottingen بطلبٍ من غاوس (4-1).

المصادر: