مفارقة عيد الميلاد

افرض أنك تقوم برمي قطعة نقدية مراهناً أنك ستحصل على الكتابة. بما أن فرصة حصولك على أحد وجهي العملة متساوي، فإن احتمال حصولك على الكتابة هو 50%. وهذا يعني أنك إذا جربت المراهنة على أنك ستحصل على الكتابة لعدد من المرات فإنك بشكل تقريبي ستربح الرهان في حوالي نصف هذه المرات.

ولكن ماذا لو أن أحدهم عرض عليك المراهنة بأنه في صفك هناك اثنان على الأقل لهما نفس تاريخ الميلاد (نفس اليوم والشهر، و لكن ليس بالضرورة نفس السنة)؟ هل ستراهن على ذلك؟

هذا السؤال في الحقيقة أكثر تعقيداَ من رمي القطعة النقدية، لأن فرصة إيجاد شخصين لهما نفس يوم الميلاد تعتمد على عدد الأشخاص الذين ستسألهم. فإذا لم يكن في الصف غير أنت وطالب آخر فإنك قد تتفاجئ عند معرفة أن هذا الشخص له نفس يوم ميلادك. ولكن إذا كان هناك طالبان لهما نفس يوم الميلاد في صف يحوي 366 طالباَ، فهل ستبقى متفاجئاَ؟

السؤال هو: إلى كم شخص نحتاج في ذلك الصف لنجعل احتمال إيجاد شخصين لهما نفس يوم الميلاد هو على الأقل 50%؟

قبل أن نشرح السبب، سنفاجئك بالنتيجة: تحتاج فقط إلى 23 شخصاً!

لنجيب الآن على السؤال، دعونا أولاَ ننسى أمر السنة الكبيسة ونعتبر أن كل سنة هي عبارة عن 365 يوم.

وأيضاَ لنعتبر أن احتمال ولادة الشخص في أي يوم من السنة احتمال متساوٍ، حتى ولو كان هنالك أيام مرجح أن يولد فيها أطفال أكثر من أيام أخرى. علماً أن هذه الاعتبارات ستسهل الحساب بدون التأثير على النتيجة بشكل يذكر.

والآن لنبدأ باكتشاف ما احتمال أن يكون لشخصين نفس يوم الميلاد:

إن الشخص الأول من الممكن أن يولد بأي يوم من السنة مما يعطيه 365 احتمالات ممكنة من أصل 365. لذا فاحتمال ولادة الشخص الأول في اليوم الصحيح هي 365\365 أو 100%. أما احتمال أن يكون للشخص الثاني نفس تاريخ الميلاد فهو 1\365.

لإيجاد ما احتمال أن لهذين الشخصين نفس تاريخ الميلاد علينا أن نضرب هذه الاحتمالات المنفصلة:

(365\365) * (1\365) = 1\365

أي حوالي 0.27 %.

والآن ماذا عن ثلاثة أشخاص؟

احتمال أن يكون الشخص الأول والثاني يملكان نفس الميلاد لا تزال 1\365. أو أن الأول والثالث من الممكن أن يشتركوا بتاريخ الميلاد واحتمال ذلك هو 1\365 كذلك. ولكن ماذا لو أن الثاني والثالث اشتركا بتاريخ الميلاد؟ وماذا لو كان لثلاثتهم نفس تاريخ الميلاد؟

لحل مسألة عيد الميلاد هذه، سنحتاج إلى استخدام إحدى القواعد الأساسية في الاحتمالات وهي أن: مجموع احتمالية حدوث حدث معين واحتمالية عدم حدوثه دوماً تساوي الواحد. أي بكلمات أخرى، إن أي حدث إما سيقع أو لن يقع وليس هناك احتمال ثالث، وبالتالي ففرصة ذلك هي دوماً 100%. إذا استطعنا إيجاد احتمالية أنه لا يوجد أي شخصين سيشتركان بتاريخ الميلاد، نستطيع باستخدام تلك القاعدة إيجاد احتمال وجود شخصين يشتركان بنفس تاريخ الميلاد:

احتمال(وقوع الحدث) + احتمال(عدم وقوع الحدث) = 1

ومنه فإن:

احتمال(وجود شخصين يشتركان بتاريخ الميلاد) + احتمال(عدم وجود شخصين يشتركان بتاريخ الميلاد) = 1

وبالتالي:

احتمال(وجود شخصين يشتركان بتاريخ الميلاد) = 1 - احتمال(عدم وجود شخصين يشتركان بتاريخ الميلاد)

وللتبسيط دعونا نرمز لـ"احتمال(وجود شخصين يشتركان بتاريخ الميلاد)" بـ p. ولـ"احتمال(عدم وجود شخصين يشتركان بتاريخ الميلاد)" بـ q. أي أن المعادلة السابقة تصبح على الشكل p=1-q.

إذاً، ما احتمال عدم وجود أي شخصين يشتركان بنفس يوم الميلاد في مجموعة مؤلفة من 3 أشخاص؟

مجدداً، يمكن أن يكون تاريخ ميلاد الشخص الأول أي يوم من أيام السنة، مما يترك للشخص الثاني 364 يوماً بحيث لا يكون له نفس تاريخ ميلاد الشخص الأول، لذا فاحتمال أن لشخصين تواريخ ميلاد مختلفة هي 364\365 . مما يترك 363 يوماً مفتوحاً للشخص الثالث.

فيكون احتمال امتلاك 3 أشخاص لتواريخ ميلاد مختلفة هي مضروب الاحتمالات المنفصلة:

(365\365) * (364\365) * (363\365) = 132132\133225

وتساوي تقريباً 99.18%.

إذا أردنا معرفة احتمال أن لـ4 أشخاص جميعاً يملكون تواريخ ميلاد مختلفة، نضرب النتيجة السابقة بـ362\365. هذه القيمة هي احتمال أن يوم ميلاد الشخص الرابع يختلف عن أيام ميلاد الأشخاص الثلاثة الآخرين:

(365\365) * (364\365) * (363\365) * (362\365) = 47831784\48627125

وتساوي تقريباً 98.36%.

وبإمكاننا أن نتابع بالحساب هكذا حتى نصل إلى الشخص رقم 366، عندها ستصبح النسبة 0%، و بإمكاننا استنتاج العلاقة التي تعطينا النسبة المطلوبة لأي عدد اختياري من الأشخاص:

الأرقام والعلاقة تعطينا في الحقيقة عكس ما نريده، فهي تعطينا احتمال أن لا يكون هناك شخصان لهما نفس تاريخ الميلاد في صف ما. لذا، ما علينا فعله هو أخذ متمم هذه الاحتمالات والأرقام، وذلك بسبب قاعدة الاحتمال التي ذكرناها. فمثلاً، إن كان احتمال أن لا يكون هناك شخصان لهما نفس تاريخ الميلاد هي 30%، فإن احتمال أن يوجد شخصان لهما نفس تاريخ الميلاد هو 70%.

الآن، وبعد أن أحرزنا بعض التقدم، نستطيع الإجابة على السؤال الأساسي: إلى كم شخص نحتاج في الصف لنجعل احتمال إيجاد شخصين لهما نفس يوم الميلاد هو على الأقل 50%؟بما أننا نعلم كيفية إيجاد احتمال عدم وجود أي زوج من الأشخاص لهما نفس يوم الميلاد، وباستخدام القاعدة الأساسية السابقة في الاحتمالات، فإن أسهل طريقة لمعرفة عدد الأشخاص المناسب هي استخدام الآلة الحاسبة وتعويض أرقام مختلفة في المعادلة التي أوجدناها إلى أن نجد أصغر رقم n يحقق أن تكون qn< 1/2 . سنجد أن أصغر مجموعة من الأشخاص تملك احتمالية وجود شخصين لهما نفس الميلاد بنسبة أكثر من 50% هي مجموعة مكونة من 23 شخصاً فقط!

في الواقع هذا يجعلنا ندرك كيف أن بعض الأشياء التي تحدث وتظهر على أنها صدفة هي أشياء ليست عشوائية بالمرة بل وإن احتمال حدوثها في أغلب الأحيان معقول للغاية!

المصدر:

هنا