الحلقة الثانية : الأسس الرياضية لفن الأوريغامي

تعرفنا في الحلقة الأولى من هذه السلسة على فن الأوريغامي ولمحة عن أشهر تطبيقاته، وذكرنا لكم أن لهذا الفن علاقة وطيدة بالرياضيات وهي ليست علاقة معقدة تثير المخاوف كما يعتقد الكثيرون.
هناك بعض القواعد الرياضية الأساسية الخاصة بفن الأوريغامي، أو كما تسمى في علم الهندسة "مسلمات هندسية"، بحيث يمكن بناء رياضيات الأوريغامي ابتداءً من هذه المسلمات.
كما قلنا في الحلقة الأولى أن مجموع المسلمات الرياضية لفن الأوريغامي هو سبعة مسلمات... ست منها تم تطويرها بواسطة العالم النووي Humiaki Huzita والتي تعتبر أقدم وأبسط مسلمات خاصة بهذا الفن حتى اليوم، أما السابعة فتم ابتكارها من قبل Koshiro Hatori .
رابط الحلقة الاولى:

إن هذا المسلمات في الحقيقية ليست رياضية بقدر ما هي تعليمات أو قواعد أساسية تنطلق منها رياضيات الأوريغامي.
هذه المسلمات قدمت أول وصف رسمي للأساسيات الهندسية الممكن تطبيقها بالأوريغامي.
القواعد الأساسية (المسلمات الرياضية لفن الأوريغامي):
(O1): إذا كان لدينا نقطتان P1,P2 على مستوي (الورقة)، نستطيع عندها طي ورقة الأوريغامي على الخط الواصل بينهما.
(O2): إذا كان لدينا نقطتان P1,P2 نستطيع عندها طي ورقة الأوريغامي بموازاة الخط العموديّ على الخط الواصل بينهما بحيث تنطبق النقطة P1 على النقطة P2.
(O3): إذا كان لدينا خطين منفصلين L1,L2، عندئذ يوجد طية بينهما بحيث ينطبق L1 على L2 تماماً.
(O4): بإعطاء نقطة P1 وخط مستقيم L1، هناك طية مميزة وحيدة محورها عمودي على L1 وتمر بالنقطة P1.
(O5): بإعطاء نقطتين P1,P2 وخط مستقيم L1، هناك طية مميزة وحيدة بحيث نستطيع من خلالها إطباق النقطة P1 على L1، وبحيث يكون محور هذه الطية يمر بالنقطة P2 .
(O6): بإعطاء نقطتين P1,P2 وخطين مستقيمين L1,L2، هناك طية مميزة بحيث يمكننا من خلالها وضع P1 على L1 ووضع P2 على L2.
(O7): بإعطاء نقطة واحدة P وخطين مستقيمين L1,L2، هناك طية بحيث يمكن وضع النقطة P على الخط L1، ومحور هذه الطية يكون عمودياً على L2.

لنشرح العلاقة أكثر بين فن الأوريغامي والرياضيات سنقوم بحل مسألتين بسيطتين اعتماداً على مسلمات الأوريغامي التي ذكرناها للتو...
الجدير بالذكر والمبهر في هاتين المسألتين ليس بساطتهما، ولكن استحالة حلهما في الهندسة الإقليدية! ولهما مكانة تاريخية عريقة في الرياضيات. المسألتان هما "تثليث الزاوية" و "مضاعفة المكعب"، سنقوم بذكر نص كل واحدة منهما وحلها باستخدام مسلمات الأوريغامي.

المسألة الأولى (تثليث الزاوية): كيف يمكنك تقسيم أي زاوية تحت 90 درجة لثلاثة أقسام متساوية تماماً بدون استخدام أي أداة غير ورقة الأوريغامي المربعة؟
الحل:
1- قم برسم خط من النقطة B بشكل مائل نحو حافة الورقة العليا AD، بحيث تحصر الزاوية المرغوب بتقسيمها، ولتكن هنا PBC تحصر الزاوية Ѳ.
2- قم بعمل طية أفقية عشوائية من حافة الورقة العليا بحيث تصنع الخط EF.
3- بعدها قم بطية بحيث ترفع حرف الورقة السفلي BC حتى يلامس الخط EF، ثم قم بإعادة فرده، فيترك أثراً هو الخط GH.
4- قم بطي الزاوية السفلى اليسارية إلى الأعلى بحيث تلامس النقطة E الخط BP، والنقطة B تلامس الخط GH...
5- مع بقاء هذه الزاوية مطوية كما سبق؛ قم بطي الطرفين بحيث يكتمل أثر الطية G ليلتقي مع الحرف العلوي للورقة في النقطة J، ثم أعد فرد الطرفين.
6- أعد فرد الزاوية المطوية.
7- اطوِ الورقة على الخط الناتج من النقطة J بحيث تستكمل هذه التجعيدة الناتجة عن الطي السابق حتى النقطة B.
8- اطوِ الحافة السفلى BC لتنطبق على الخط BJ ثم أعد الفرد.
في النتيجة نجد أن التجعيدات النهائية الناتجة التي تشكل الخطوط BJ و BK تقسم الزاوية إلى 3 أقسام متساوية تماماً.

هذه الطريقة صالحة لتقسيم أي زاوية تحت الـ90 درجة لثلاث أقسام متساوية، وهناك طرق عديدة أيضاً للزوايا فوق الـ90 درجة.

المسألة الثانية (تنصيف المكعب):
معرفة النسبة بين طولي ضلعين لمكعبين أحدهما ضعف حجم الآخر.
فلنفرض أنه لديك مكعب له طول ضلع S1 وحجمه V، مهمتك هي إيجاد طول الضلع S2 الذي هو حرف المكعب ذو الحجم 2V باستخدام الأوريغامي.
الحل:
1- لدينا قطعة مربعة من الورق ABCD، نقوم بعمل طية صغيرة في منتصف الضلع اليميني للورقة، وليكن DC، ونسمي مكان الطية E.
2- نقوم بعمل طية بين A و C وطية بين B و E، ثم نقوم بفرد الورقة مع بقاء أثر الطيات، وعند التقاطع بين الأثرين نقوم بالضغط على الورقة في مكان التقاطع بحيث يصبح واضحاً.
3- نقوم بطي الحرف العلوي ليلامس التقاطع السابق بشكل أفقي، ثم نعيد الفرد، ثم نقوم بعملية طي للحرف السفلي (الحرف السفلي للأعلى بحيث يطبق BC على أثر الطية السابقة الجديد).
4- نقوم بطي الزاوية C لتلمس الحرف AB، وفي نفس الوقت تكون النقطة I منطبقة على الخط FG.
5- نجد أن النقطة C تقسم الحافة AB، وتكون النسبة AC/CB هي النسبة المطلوبة، بحيث إذا ضربنا بها قيمة S1 ينتج لدينا قيمة S2.



وهكذا نجد أنه من الممكن حل بعض المسائل الهندسية (بعضها كما رأينا يستحيل حله في الهندسة الإقليدية) باستخدام طيات ومسلمات الأوريغامي، ويمكن أيضاً على سبيل المثال البرهان بسهولة أن فن الأوريغامي قادر على حل أي معادلة جبرية من الدرجة الثالثة.
لن نطيل عليكم في هذه الأمثلة والتي يوجد العديد منها، أعقد وأطول وأكثر صعوبة.
بعد تبيان أساسيات العلاقة بين الأوريغامي والرياضيات، انتظرونا في المقال القادم حيث سننظر بعين المجهر إلى تطبيقات فن الأوريغامي في العلوم والتكنولوجيا.

توضع المصادر آخر السلسلة