5 حقائق رياضية ممتعة.

1-البيانات العشوائيّة:

من الغريب أنّ البياناتِ العشوائيّةَ ليست عشوائيّةً بالمطلق. فإذا أخذنا مجموعةً من الأرقامِ تمثّلُ أيَّ شيءٍ، (سعرُ الأسهمِ مثلًا، أو التّعدادُ السّكانيُّ في المدن، أو ارتفاعاتُ المباني أو حتّى طولُ الأنهارِ)، نجد أنّ 30% من هذه الأعداد ستبدأ بالعددِ 1. ونسبةٌ أقلُّ من ذلكَ ستبدأ بالعددِ 2 وأقلُّ منها بالعدد 3 و هكذا إلى أن نجدَ رقمًا واحدًا فقط من بين 20 رقمٍ يبدأ بالرّقم 9. وكلَّما كانت مجموعةُ الأرقامِ أكبرَ كلّما ظهرَ هذا النَّمط بشكلٍ أوضحَ.

2-لولب الأعداد الأوّليّة:

تُعدُّ الأعدادُ الأوّليّةُ هي البنى الذّريّة لعالَمِ الرّياضيات لتميُّزِها بعدمِ إمكانيّةِ قِسمتِها بشكلٍ صحيحٍ (إلّا على نفسِها و على الرّقم 1) كما يُمكننا الحصولُ على باقي الأعدادِ غيرِ الأوّليّةِ من خلالِ ضربِ الأعدادِ الأوّليّةِ ببعضِها. وبغضِّ النّظرِ عن أهميّتها فإنّ توزُّعَ هذه الأعداد بالنّسبةِ لبقيّةِ الأعدادِ يُعدُّ لغزًا حتّى تاريخِ كتابةِ هذا المقال. فلا يوجدُ نمطٌ قادرٌ على إخبارِنا أيُّ عددٍ سيكونُ أوليًّا أو ما هي المسافةُ بين عددَينِ أوليَّينِ متعاقبَين.

والعشوائيّةُ الّتي تبدو لنا في الأعدادِ الأوليّةِ تجعلُ النّمطَ الّذي يظهرُ في" لولبِ Ulam" غريبًا بالفعلِ.

ففي عام 1963 لاحظَ الرّياضيُّ ستانيسلو أولام "Stanislaw Ulam" بينما كان يعبثُ في دفترِه أثناءَ لقاءٍ علميٍّ نمطًا غريبًا:

فعندما تُكتب الأعدادُ على شكلِ لولبٍ، غالبًا ما تصطفُّ الأعدادُ الأوّليّةُ إلى جانبِ بعضها بشكلٍ قطريّ.لكن هذا بحدِّ ذاته ليس الأمرَ الغريبَ(لأنَّ الأعدادَ الأوّليّةَ _باستثناءِ الرّقم 2_ هي أعدادٌ فرديّةٌ والأقطارُ تتوالى زوجيّةً ثمَّ فرديّةً ثمّ زوجيّةً وهكذا)، الغريبُ هو نزعتُها لتصطفَّ على أقطارٍ أكثرَ من أقطارٍ أخرى -يحدث هذا إذا بدأتَ التَّرقيمَ منَ الدّاخلِ أو الخارجِ على حدٍّ سواء-.

وحتّى عندما تصلُ لأعدادٍ كبيرةٍ (كما في الشّكل أعلاه) يمكنكَ رؤيةُ خطوطٍ قَطْريّةٍ بشكلٍ واضحٍ أكثرَ من غيرها. هذا ويوجدُ فرضيّاتٌ رياضيّةٌ لهذا النّمطِ ولكن لم يتم إثباتُ أيٍّ منها حتّى الآن.

3-قَلْبُ الكرة (ليصبحَ داخلُها خارجَها) :

في التّبولوجيا - وهي أحدُ مجالاتِ الرّياضياتِ الهامّةِ - نعتبرُ شكلينِ ما (الأشكالُ هنا ثلاثيّةُ الأبعادِ وهي سطوحٌ لا تمتلكُ ثخانةً) متكافئَين (بلغةِ التّبولوجيا نسميهما: هومومورفيّان) إذا استطعنا تغييرَ أحدِهما ليصبحَ كالآخرِ.

وشروطُ التّغيير هي كالتّالي: تستطيعُ فتلَ ومدَّ وتقليصَ وجعلَ السّطوحِ تَعْبُرُ خلالَ سطوحٍ أخرى ولكن لايمكنكَ قصُّ أو لصقُ أيَّ جزءٍ من الشّكلِ.

فمثلًا تخيّل أنّكَ تستطيعُ تحويلَ الشّكلِ التّبولوجيِّ لقطعةٍ من الدّونَت ليصبحَ مشابهًا لكوبِ قهوةٍ مستديرٍ مع مقبضٍ.

يوجدُ استثناءٌ واحدٌ لهذه القاعدةِ هو شرائطُ موبيوس، فلا يمكنُ الوصولَ لأحدهِما من الآخرِ إلّا بالقصِّ واللّصق.

والسّؤالُ الآنَ: "هل سطحَي الكرة الدّّاخليّ والخارجيّ هما شكلانِ متكافئان أوهومومورفيان؟ وبكلام آخرَ: هل يمكنُ قَلْبُ السّطحِ الدّاخليِّ للكرةِ ليصبحَ خارجيًّا؟".

لقد نوقِشَ هذا السّؤالُ طويلًا في التّبولوجيا، وبدا ذلكَ مستحيلًا في البدايةِ لأنّه من غيرِ المسموحِ لكَ أن تفتحَ حُفرةً في سطحِ الكرةِ لتقومَ بقلبِها، ولكن في الحقيقةِ "قلبُ الكرةِ" ممكنٌ وبأكثرِ من طريقةٍ أيضًا وحتّى بدونِ إحداثِ أيِّ ثقبٍ. شاهد الفيديو التّألي لتعرفَ كيف يتم ذلك.

من الوفاءِ هنا أن نذكرَ أنّ التّبولوجيَّ برنارد مورين كان المطوّرَ الرّئيسيَّ للطرقِ المعقَّدةِ في قّلْبِ الكرةِ، وقد كان "أعمى".

4-ورقُ الحائط:

رغمَ وجودِ عددٍ غيرِ منتهٍ من زينةِ ورقِ الحائطِ، إذ أنّه رياضيًّا يوجدُ عددٌ منتهٍ من أنماطِ التّشكيلاتِ الهندسيّةِ. فكلُّ الأشكالِ الهندسيّةِ الّتي يُمكن رصفُها بجانبِ بعضِها بطريقةٍ تجعلُ الأمرَ ممكنًا لعددٍ غيرِ منتهٍ من المرّاتِ الّتي نراها على ورقِ الجدرانِ والبلاطِ، يمكنُ تعريفها بأحدِ عناصرِ مجموعةِ "ورق الجدران" الّتي تحوي 17 عنصرًا فقط.

5-المعادلة الأجمل في العالم:

"كما القصائدُ الشّكسبيريّةُ الّتي تُسجِّلُ معنى الحبِّ الخالصِ أو اللّوحةِ الّتي تُظهرُ أنَّ الجمالَ البشريَّ أكثرُ من مجرّدِ جلدٍ رقيقٍ، فإنّ معادلةَ أويلر تصلُ إلى أعماقِ الوجودِ"، هذا ما قالَهُ الرّياضيُّ كيث ديفلن عامَ 2002 في مقالتِه "المعادلةُ الأجمل". لكن لماذا هذه المعادلةُ تحديدًا تخطفُ الأنفاس؟ وماذا تعني؟

أولاً: العددُ النِّبَّريُّ e، وهو عددٌ غيرُ منطقيٍّ (عددُ خاناتِه لا نهائيّ) ويبدأ بـ 2.71828 ، ويمتلكُ هذا العددُ في الرّياضياتِ خصائصَ فريدةً وعجيبةً مثلَ أنَّ قيمتَه هي مجموعُ مقلوب عاملي جميع الأعدادِ الصّحيحةِ k!=1×2×....×k) ،k )، وبالفعلِ فإنَّ هذا الثّابتَ يظهرُ من العدمِ في العديدِ من المعادلاتِ الهامّةِ.

ثانيًا: العدد i، ويُسمى "العددَ التّخيُّليَّ" ويساوي الجذرَ التّربيعيَّ للعددِ (1-)، ولذلكَ سميَّ بالعددِ التّخيُّليِّ، إذ لا وجودَ لعددٍ يُضرَبُ بنفسِهِ ليعطي أيَّ عددٍ سالبٍ، ولكن في الرّياضياتِ حالاتٌ تتطلَّبُ جذرًا تربيعيًّا لعددٍ سالبٍ لذلكَ يظهرُ هذا العددُ كحلٍّ للمشكلة.

وأخيراً: العدد π، وهو نسبةُ محيطِ الدّائرةِ إلى قطرِها، وهو أحدُ أكثرِ الأعدادِ شُهرةً وأهميّةً في عالمِ الرّياضيات. وهو مثلُ العددِ e، عددٌ غيرُ منطقيّ ويقومُ بتزيينِ العديدِ من المعادلاتِ الرّياضيّةِ والفيزيائيّةِ.

تمكّنَ أويلر باستعمالِ هذه الجواهرَ المعقّدةَ والغريبةَ من تزيين هذه المعادلةِ البسيطةِ، وبكلِّ غرابةٍ لتعطي هذه الأعدادُ غيرُ المنطقيّةِ وأحدُها غيرُ حقيقيّ بجمعِها للواحدِ الرّقمَ 0.

المصدر :

هنا