حدسية بونكارييه- Poincare Conjecture

هل فكرتم يوماً ما هو ابسط شكل في الفراغ ثلاثي الأبعاد الذي يحيط بنا؟

هنري بونكاريه فكر في ذلك عام 1904،وأرشده حدسه الى أن الكرة هي أبسط شكل في الفضاء الثلاثي الأبعاد..

ولكن هل يصلح هذا الكلام في فضاء رباعي الابعاد؟ هذا كان سؤال بونكارييه بما يخص الأشكال التي لا تحوي ثقوباً في حال كانت منطويات تفاضلية مغلقة.

لم الكرة؟

نحتاج الى العودة قليلا إلى علم الطبولوجيا هنا ، ولنتخيل أننا نمسك مكعباً مرنا،نستطيع أن نعيد تشكيله ليصبح كرة. ليس فقط المكعب، أي جسم في الفراغ الثلاثي الأبعاد نستطيع تحويله الى كرة عن طريق مطه بحريّة بشرط عدم تمزيقه و إحداث ثقب فيه، نجد بذلك أن المنطويات التفاضلية المغلقة في الفضاء الثلاثي الأبعاد ممكن أن تؤول الى كرة.

بينما قطعة الدونات لن تتمكن من التحول الى كرة مهما مططناها بسبب الثقب الموجود فيها.

بطريقة أخرى..حين نلف حول الكرة خيطا ونمسح به كل قطاعاتها فإن الخيط سيتحول الى دوائر مختلفة المحيط حتى يصبح نقطة، ألا وهي أبسط شكل في الفراغ ثنائي الأبعاد،بينما حين نلف خيطا حول قطعة دونات فلن يتحول الى نقطة مهما تابعنا عملية المسح على سطح الدونات.

لهذا نسمي الكرة سطحا متصلاً، بينما الدونات أو اي جسم فيه ثقب أو أكثر هو سطح غير متصل.

تبدو المسألة غاية في البساطة، نعم فهي "حدسية" !

و لكن حين يُطلَب برهان رياضي كامل ومترابط ومنطقي، تبدأ المصاعب، فلا عجب أن إثبات هذه الحدسية تطلب 100 عام!

أول محاولة جدّيّة لبرهنة صحة هذه الحدسية كانت عام 2002 على يد العالم الروسي كريشا بيرلمان والمشهور بـ غريغوري بيرلمان، وقد ذاع صيته في نشرات الأخبار و الصحف العالمية كـ:

"عالم رياضي روسيّ غريب الأطوار يعيش بعزلة في شقّة متواضعة في سانبطرسبرغ مع والدته، و يرفض جائزة مقدمة له من Claymath لحلّه احدى مسائل الملينويم السبعة!"

برّر بيرلمان رفضه للجائزة بأن “ريتشارد هاملتون” أحقّ منه بهذه الجائزة ،لاعتماد البرهان بشكل كبير على نظرية "تدفق ريتشي".

ثمّ في عام 2006 ذاع خبر وصول عالمين صينيّين ((Zhu Xiping-Cao Huaidong)) الى حلّ هذه الحدسية بشكل نهائي بتقديم اثبات رياضي كامل، زاعمين أن حلّ بيرلمان كان معقّدا و غير كامل و ليس سوى إسهاب في نظرية "تدفق ريتشي".

ماذا قدمت لنا هذه الحدسية على ارض الواقع؟

لقد منحنا اثبات هذه الحدسية فكرة عن شكل كوننا، وكذلك فكرة عن جوهر الأشكال و أصلها في الكون رباعي الأبعاد..

قد لا نرى لها تطبيقات مباشرة ملموسة في حياتنا اليومية ولكن من يدري عجلة الحياة و العلم كيف تسير؟

عدا أن إيجاد اثبات لحدسية رياضية مهم لتطميننا بأن المنهج العلمي يسير بأمان، والتفكير المنطقي يقود دوماً لنتيجة...حتى لو بعد 100 عام.

فليستمتع عشاق الرياضيات ببرهان الحدسية:

برهان بيرلمان:

هنا

هنا

هنا

برهان Zhu Xiping-Cao Huaidong :

هنا

المصادر:

[1] كتاب " Poincare's Prize: The Hundred-Year Quest to Solve One of Math's Greatest Puzzles"

[2] هنا

[3] هنا