حدسية بيرخ-داير

لطالما أثارت مسألة إيجاد جميع الحلول (x، y، z) لمعادلات جبرية مثل

x2 + y2 = z2

في مجموعة الأعداد الطبيعية اهتمام علماء الرياضيات. مثلاً:

إقليدس: قام بإيجاد حل متكامل لتلك المعادلة (صيغة إقليدس)، ولكن مع وجود معادلات أكثر تعقيداً (أي من درجة أعلى) فإن هذا الأمر بالغ في الصعوبة، وفعلاً في عام 1970 برهن يوري ماتيازيفيتش Yu.V.Matiyasevich أن مسألة هيلبرت العاشرة غير قابلة للحل، وهذا يعني أننا لا نملك طريقة عامة لتحديد فيما إذا كانت معادلات كهذه تملك حلا ً في مجموعة الأعداد الطبيعية.

في بعض الحالات الخاصة، يمكننا أن نأمل بوجود حل ما. عندما يكون الحل عبارة عن (آبيلي متنوع) تجريدي متنوع abelian variety فإن فرضية بيرتش و داير Bryan Birch ‎and Swinnerton-Dyer تفترض أن حجم مجموعة الحلول في حقل الأعداد الكسرية يتعلق بسلوك تابع زيتا ζ(s)‎ المرافق بالقرب من النقطة s=1.

بعبارة أخرى، إن هذا التخمين الرائع يدّعي بأنه إن كان التابع ζ(1)‎ يساوي الصفر فسيكون لدينا عدد غير منته من الحلول، أما اذا كان التابع ζ(1)‎ لا يساوي الصفر فيسكون لدينا عدد محدود فقط من تلك الحلول.

المنحنيات الإهليلجية:

إن دراسة المنحنيات الإهليليجية تتميز بتاريخ طويل وحافل ممتد منذ العصور القديمة، كما أنها متواجدة في العديد من فروع الرياضيات الحديثة وبشكل خاص في نظرية الأعداد.

يمكن وصف تلك المنحنيات بمعادلة من الدرجة الثالثة كما في الشكل:

حيث A و B أعداد ذات قيم ثابتة (و للتأكيد على أن المنحني E أملس سنفترض أن قيمة المميز 4A3 + 27B2 لا تساوي الصفر).

مثال: باختيار A= -1 و B = 0، سنحصل على الشكل التالي

إن المنحنيات الإهليليجية (باستثناء اسمها) ليس لها علاقة بالشكل الإهليليجي (القطع الناقص)!. و السبب وراء هذا الالتباس هو الصلة القوية لتلك المنحيات بالتكاملات الإهليليجية التي تنشأ عند وصف حركة الكواكب في الفضاء.

العالم الرياضي الإغريقي القديم ديوفانتس (Diophantus) والذي يُعتبر من قبل الكثيرين "أبو الجبر"، قد أشار في كتابه الحساب "Arithmetica" إلى العديد من الأدوات لدراسة حلول معادلات كثيرات الحدود بعدة متغيرات، وقد اصطُلح لاحقاً تسميتها بمعادلات ديوفانتس تكريما ً له.

واحدة من المشاكل الأساسية التي ناقشها ديوفانتس هي إيجاد كل الحلول الممكنة لمعادلة كثيرات حدود معينة في حقل الأعداد الكسرية Q‎ .

لاحقا ، تم إيجاد تلك الحلول العامة من أجل معادلات "الدرجة الثانية" (الدوائر – الإهليليجيات – القطوع المكافئة – القطوع الزائدة ) والتي لم يعتقد أنها ستكون موجودة.

بالعودة إلى المنحني الإهليليجي E الذي تكلمنا عنه سابقاً ، نجد أن المشكلة مماثلة لتلك التي تحدثنا عنها وهي إيجاد جميع الحلول (x،y) التي تحقق معادلة المنحني E بحيث كل من x و y ينتمي حقل الأعداد الكسرية Q. يرمز عادة لهذه المجموعة من الحلول بالرمز‪E (Q)‬‬‬

لإيجاد جميع النقاط في‎E(Q) ‎ نحن بحاجة لتعريف عملية داخلية "+" على المجموعة E، والتي ستسمح لنا بأن نقوم "بجمع" نقطتين (ولتكن النقطتين p1 و p2) من المنحني لنحصل على نقطة جديدة p4 تقع على نفس المنحني E.

الشكل التالي يوضح المعنى:

على هذا النموذج الهندسي، النقطة p4 تعرّف على أنها ناتج جمع p1 و p2 (وكما نرى فإن قانون الجمع هنا لا يتأثر بترتيب النقاط p1 و p2). إن مجموعة النقاط الكسرية E(Q)‎ مع عملية الجمع (+) تشكلان زمرة.

لكي نتمكن من فهم الزمرة (E(Q)،+‎) بشكل كلي علينا أن نوجد نقاط مستقلة p₁،p₂،…،pr ‎ مولّدة لـ E(Q)‎، وذلك عن طريق أخذ تركيبات من الجمع أو الفرق بين كل منها.

ملاحظة: نقصد بـ "الفرق" هنا الجمع مع المرافق بالنسبة للعملية الداخلية (+).

إن لويس مورديل (Louis Mordell) بروفيسور الرياضيات البحتة في جامعة كامبريدج من عام 1945 إلى عام 1953 و أندريه وايل A. Weil كانا أول من حدد بنية هذه الزمرة من النقاط الكسرية E(Q)‎ ، حيث أنه في عام 1922 تم برهان النظرية التالية نظرية موردل- وايل (Mordell–Weil theorem) :

إن عدد النسخ من حلقة الأعداد الصحيحة Z كما في الشكل في الأعلى يطلق عليها رتبة ((r=r(E) المنحني الإهليلجي E. إن الزمرةΤE(Q) ‎ هي زمرة منتهية وهي ليست مثيرة للاهتمام، لأنها تحوي على الأكثر 16 عنصراً.

إلى يومنا هذا لا يوجد خوارزمية عامة معروفة لتحديد رتبة منحني إهليلجي، ومع ذلك، عملياً توجد بعض الأدوات التي تعمل بشكل جيد على بعض الأمثلة.

لذلك فإن المشكلة الكبرى والتي يتجنب الناس الحديث عنها تصبح ما يلي:

- كيف نحدد الرتبة r(E)‎ عموماً من أجل أي منحني إهليلجي E؟

لكل منحني اهليلجي E تابع عقدي بمتغير s يسمى الدالة اللامية L-function ويرمز له بـ E(L،s)‎

إن التعريف الدقيق للتابع اللامي أو الدالة اللامية L-function لا يستهان به أبداً، و لنستطيع أن نتخيل ذلك، فقد حسبت بعض حدوده الأولية من أجل المنحني الإهليلجي

وكانت النتيجة كما في الشكل التالي:

ملاحظة: إن المنحني الإهليلجي في المثال السابق يختلف قليلاً عن التعريف المذكور في بداية هذا المقال. إن النوع من المنحنيات يدعى نوع "فايرشتراس".

فرضية بريتش و داير (Brich and Swinnerton-Dyer):

في بداية الستينات كان عالما الرياضيات برايان بريتش (Bryan Brich) و السير بيتر داير (Peter Swinnerton-Dyer) اثنين من المهتمين بنظرية الأعداد اليافعين من أوكسبريدج (Oxbridge) و تواقين لاستخدام تكنولوجيا جديدة.

في ذلك الوقت لم يكن للحوسبة ذاك التأثير الكبير في مجال الرياضيات بعد، ولم يكن هناك ما يسمى بالحاسب المحمول (laptop) .

لقد اكتشف بريش Brich وداير Swinnerton-Dyer من خلال التجارب على ما يسمى بـالدالة اللامية L-function للمنحني الإهليليجي E اكتشافاً مذهلا ً:

إن درجة انعدام التابع ( L(E،s‎ عند النقطة s = 1 مرتبط ببعد الشبكية Z+Z+…+Z والموجودة في زمرة النقاط الكسرية (E(Q .

بصورة أكثر إيضاحاً،تنص فرضيتهما المشهورة على:

فرضية بريتش و داير (Brich and Swinnerton-Dyer):

دعونا نلق نظرة أكثر قرباً، لنأخذ المنحني التالي كمثال:

سنجد أن الشبكية داخل E(Q)‎ هي ثلاثية الأبعاد (Z+Z+Z):

وعلى ذلك فإن الدالة اللامية L-function للمنحني E يجب أن ينعدم عند الرتبة r(E) = 3 عند النقطة s = 1 وبذلك:

من أجل ثابت ما لا يساوي الصفرc(E) ‎.

في الحقيقة فإن فرضية بيرتش وداير Brich and Swinnerton-Dyer قد أعطتنا هذه المعادلة التنبؤية، و شرحت لنا كيف نحسب كل ثابت c(E)‎ حسب شروط معينة (تعتمد على E).

أهمية هذه الفرضية:

لا يمكن للمرء أن يؤكد بما فيه الكفاية كم أصبح هذا التنبؤ ثورياً لاحقاً، وهي ليست مبالغة بأن نقول بأنه قد دفع جزءاً مهماً من الأبحاث في نظرية الأعداد التي قد استمرت منذ خمسين عاماً ، و لعل الوجه الأجمل لهذه الفرضية هو أنها تربط عالمين مختلفين جذرياً في الرياضيات ببعضهما: عالم الجبر حيث معادلات كثيرات الحدود (وفيها نجد معادلات المنحنيات الإهليليجية)، وعالم التوابع العقدية حيث تنتمي الدالة اللامية( L-function)

وبغض النظر عن أن رتبة الانعدام صغيرة جداً، فإنه لا يوجد برهان على هذه الفرضية حتى الأن.

ملاحظة: إن أكبر رتبة معروفة حتى الآن لمنحني إهليلجي هي 28، ولكن من المتوقع أن تكون هناك رتب كبيرة جداً بشكل عام .

المصدر:

● [1] Joyce، D. E. (June 1997)، "Book X ، Proposition XXIX"، Euclid's Elements، Clark University

● [2] Matiyasevich، Yuri V. (1970). Диофантовость перечислимых множеств [Enumerable sets are Diophantine]. Doklady Akademii Nauk SSSR (in Russian) 191: 279–282. English translation in Soviet Mathematics 11 (2)، pp. 354–357.

● [3] A. Weil، L'arithmétique sur les courbes algébriques، Acta Math 52، (1929) p. 281-315، reprinted in vol 1 of his collected papers ISBN 0-387-90330-5

● [4] L.J. Mordell، On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees، Proc Cam. Phil. Soc. 21، (1922) p. 179.

● [5] N. D. Elkies، Some more rank records: E(Q) = (Z/2Z) * Z18، (Z/4Z) * Z12، (Z/8Z) * Z6، (Z/2Z) * (Z/6Z) * Z6، Number Theory Listserver، Jun 2006.

● [6]هنا

● [7]هنا