نظرية النقطة الثابتة

لنفرض أنه لدينا قرصين من نفس الحجم ، واحد أحمر و الآخر أزرق ، موضوعة في البداية بحيث أن القرص الأحمر يكون تماماً على القرص الأزرق. عندئذٍ تخيل أننا نستطيع أن نمدد ، نقلص ، ندوّر و نطوي القرص الأحمر بطريقة ما طالما أن القرص لم يُقطع أو يُمزق. أخيراً نبدل القرص الأحمر بحيث أن لا شي من القرص يعلق على القرص الأزرق.

تنص نظرية بروير أنه يجب أن يُوجد على الأقل نقطة واحدة ، نقطة ثابتة ، على القرص الأحمر وهي تماماً فوق موضعها الابتدائي على القرص الأزرق

حالة البعد الواحد

الحالة الأبسط من نظرية النقطة الثابتة هي حالة الفضاء ذي البعد الواحد التي يمكن أن تُشرح باستخدام الأوتار

لنفرض أنه لدينا وتريين متطابقيين موضوعين مباشرة واحد على قمة الآخر. الوتر السفلي يبقى ثابت، لكن الوتر العلوي ممكن أن يطوى ، يمدد و يُعاد تشكيله طالما أنه موضوع بحيث ولا جزء من الوتر العلوي يعلق على الوتر السفلى.

ليس مهماً كيف تمدد ، تحني أو تترك الوتر العلوي ، سيكون هناك نقطة ذات موضع أفقي على الوتر العلوي لاتتغير.

الصورة رقم ١

إن تخيلك للموقف مفيد لتكون قادر على تحديد النقطة الثابتة الفعلية . في الصورة رقم ١ الوتريين المظليين بألوان متدرجة بحيث أن كل نقطة على الوتر مظللة بلون مختلف، يقدم اللون الموضع الأفقي المبدئي لكل نقطة من الوتر. إذا كان هذا اللون في نفس المكان الابتدائي على كلا الوترين المشوه أو غير المشوه، عندئذٍ لم يغيير الوتر المشوه الموقع الأفقي لهذه النقطة.

في الصورة رقم 1 النقاط السوداء على الوتريين تبين هذه النقطة الثابتة . سيكون هناك دائماً بعض النقاط ذات موضع أفقي لا يتغير و كل من هذه النقط هو النقطة الثابتة

حالة الفضاء ذي البعدين

نظرية النقطة الثابتة في الفضاء ذي البعدين يمكن أن تقوم على قرصين أحدهما أحمر و الآخر أزرق. القرصيين لهم نفس الحجم و القرص الأحمر موضوع فوق القرص الأزرق. يعاد تشكيل وتحريك القرص الأحمر وبالتالي إعادته إلى مكانه على القرص الأزرق بدون أن يمتدد أي جزء منه خارج حدود القرص الأزرق.

تنص نظرية النقطة الثابتة أنه من المستحيل تشويه (بدون تمزيق ) القرص الأحمر بحيث أن كل نقطة مفردة تتحرك. بكلام آخر ستبقى نقطة واحدة على الأقل من القرص الأحمر واقعة في نفس المكان فوق القرص الأزرق.

الصورة رقم ٢

الصورة رقم ٢ أعلاه تُظهر بعض المحاولات لتحريك أو تشويه القرص الأحمر في طريقة ما بحيث أنه لا توجد نقطة ثابتة. نظرية النقطة الثابتة تضمن أنه ولا أي من هذه المحاولات ستكون ناجحة

في الصورة 2.1 حيث القرص مدور فقط ، لاحظ أن كل النقاط تكون متحركة ومع ذلك نقطة المركز لا تزال ثابتة

في الصورة 2.2 القرص الأحمر مطوي طيتين ليكوّن ربع جزء من أربع طيات ، ينزلق بحيث يغطي نقطة المركز للقرص الأزرق. وهو موضوع أيضاً بحيث أن طرف القمة على القرص الأحمر يكون موازي لخط مركز الأفق

لمعرفة النقطة الثابتة في الصورة 2.2 لنفرض أننا ربطنا نقطة المركز من القرص الأحمر الى مركز القرص الأزرق بالخط الأبيض

يمكننا أن نضع علامة على منصّف هذا القطاع هي النقطة السوداء ، بما أن القرص الأحمر مطوي طيتين فهناك فعلياً أربع نقاط حمراء فوق نقطة زرقاء واحدة أشرنا إلى هذه النقطة بالرمز P في الرسم التوضيحي أعلاه

والآن بعد أن حددنا جميع النقاط المفيدة في الشكل التوضيحي يمكننا أن نتبع نهج استراتيجي لبرهان وجود النقطة الثابتة :

أولاً : كما هو مبين في الرسم المتحرك أدناه فإن دوران القرص الأحمر المطوي طيتين حول النقطة P يسمح بتغطية كامل الربع الأيمن من القرص الأزرق.

إن دوران الربع الأحمر حول النقطة P سوف لن يغير من موضع النقط الأربعة المتراكبة على القرص الأحمر والمتوضعة فوق P.♦

ثانياً: لأن الربع الأحمر يتحرك تماماً فوق ربع واحد من القرص الأزرق فإن واحدة من النقط الأربعة المتراكبة على القرص الأحمر توجد في موضعها الأصلي .

♦ عندما تكون واحدة من نقاط القرص الاحمر المتراكبة موجودة في موضعها الأصلي فإن النقطة P من القرص الأزرق ستكون في موضعها الأصلي.

هكذا نكون أثبتنا أنه بدوران القرص المطوي فإن واحدة من النقاط الأربعة المتراكبة هي في موضعها الأصلي P ، أي أن الدوران لم يؤثر على موقع هذه النقطة لذلك هي ثابتة حتى مع تشويه القرص ( طيّه ).

النقطة السوداء في الرسم هي النقطة P

الصورة 3.2 تعرض مثلاً يكون فيه القرص الأحمر مشوه بطريقة معقدة جداً. في مثل هذه الحالة إيجاد نقطة ثابتة صعب جداً دون معرفة ماذا فعلنا تماماً بالقرص الاحمر ومع ذلك فإن نظرية النقطة الثابتة تنص على وجوب وجود نقطة ثابتة حتى لو لم نتمكن من تحديد موضعها بالضبط.

حالة الفضاء ثلاثي الابعاد

اقتُرحت حالة الفضاء الثلاثي الأبعاد من قبل العالم بروير نفسه كما يبدو عندما كان يشرب القهوة ، على الرغم من أن العالم هنري بوانكاريه و العالم بول حقيقة برهنا أجزاء من النظرية قبل بروير

كنتيجة من نظرية النقطة الثابتة بروير في حالة فضاء ثلاثي البعد فإنه ليس مهم كم مرة تحرك فنجان القهوة ، بعض نقاط السائل ستعود إلى موقعها الأصلي هذا مع فرض أنه لا يوجد سكب للسائل .

لماذا هذه النظرية مثيرة للاهتمام؟

أثارت نظرية النقطة الثابتة لبروير النقاش منذ أن بُرهنت لأول مرة و كانت لا تزال تُرى في مواضيع ذات مجالات مختلفة من رسم الخرائط الى الاقتصاد

الخلاف على البديهيات

وجهت البراهين المبكرة لنظرية بروير باستقبالات مختلفة من قبل مجتمع الرياضياتين . طرحت البراهين الأولى من قبل بول و بروير و هادامارد و كانت غير بناءة ، بمعنى أنهم برهنوا وجود النقاط الثابتة لكنهم لم يبرهنوا وسائل تكوين مثال ذي معنى.

وعلى الرغم من أن عدد قليل جداً من علماء الرياضات لا يزالون يناقشون نظرية النقطة الثابتة لبروير، وأن النقاش حول إثبات وجود النقاط الثابتة هو الآن فلسفي بالمقام الأول . إلا أن نظرية بروير مقبولة على نطاق واسع في الرياضيات و هي أساس لنظريات أخرى مختلفة.

الخرائط :

تتجلى نظرية النقطة الثابتة لبروير بأماكن بعيدة كل البعد عن الرياضيات ، مثل إشارة ( أنت هنا ) في خرائط المعلومات ( غالباً توجد في مراكز التسوق الكبيرة). هذه الخرائط مألوفة وموجودة في حياتنا اليومية إلا أن قلة من الناس يعرفون نظرية النقطة الثابتة لبراوير. في الواقع إن النقط التي توضع على شكل صورة مرفقة بجملة (أنت هنا) على الخرائط في مراكز التسوق هي نقاط ثابتة لتوابع مستمرة مدخلاتها أو مجموعات تعريفها هي مجموعة جميع الأماكن في مراكز التسوق ومخرجاتها صور توضع على خرائط هذه الأماكن.

الاقتصاد ونظرية الألعاب :

تعتمد نظرية الألعاب الكلاسيكية والاقتصاد كذلك وبشكل كبير على نظريات النقطة الثابتة.

إن النتيجة المشهورة لجان ناش في برهان تعادل العاب متعددة اللاعبين هي مثال كلاسيكي معروف يعتمد في برهانه فقط على نظريات النقطة الثابتة.

تخيل لعبة يرغب كل لاعب فيها أن يحسن أداءه في اللعب اعتماداً على أداء خصومه، تنص فرضية ناش على أنه يوجد مزيج من الاستراتيجيات التي لايمكن للاعب من خلالها أن يحسن أداءه بمن جانب واحد فقط ، وبالتالي أمام اللاعبين استراتيجية أو طريقة " ثابتة" للعب تنطوي تحتها عملية تحسين النتائج.

على سبيل المثال في لعبة: صخر ، ورقة، مقص توازن ناش ينطوي على أن على اللاعب أن يختار عشوائياً أحد الخيارات الثلاث لأكثر من ثلث المرات التي يتكرر فيها اللعب ، فمثلاً إذا كان أحد اللعبين يخطط أن يختار الصخر لأكثر من ثلث مرات اللعب فإن خصمه يستطيع مجابهته بأن يختار الورقة مثلاً لأكثر من ثلث مرات تكرار اللعبة.

تستخدم نظرية النقطة الثابتة لبروير في الاقتصاد أيضاً لبرهان أن هناك تقاطع بين منحنيات العرض والطلب ، إنّ فكرة أن الاسواق عموماً ستعود إلى طبيعتها في التوازن هي الافتراض الأساسي في الاقتصاد . وتستند النماذج التي تعتمد هذا الافتراض على نموذج المنتج الواحد ن ولذلك عندما يكون للاقتصاد منتجات متعددة فإنه يطلب منه وتحت أي ظرف من الظروف تحقيق مثل هذا التوازن . إن الأدوات الرياضياتية المتاحة لمعالجة هكذا مسألة هي نظريات النقطة الثابتة بما في ذلك نظرية بروير.

Lutitzen Egbertus Jan Brouwerلوتسن اغبرتوس يان بروير

مواليد ٢٧ شباط ١٨٨١ الى ٢ كانون الاول ١٩٦٦ هو رياضي هولندي و فيلسوف ، تخرج من جامعة امستردام و قد عمل في الطبولوجيا ، نظرية المجموعات ، نظرية القياس و التحليل العقدي. هو مؤسس الفلسفة الرياضية البديهية

المصدر

هنا