الرياضيات > الرياضيات
المجسمات الافلاطونية - Platonic solid
المجسمات الأفلاطونية (كما تُدعى أيضاً بالمجسمات المنتظمة أو المجسمات ذات السطوح المنتظمة) هي مجسمات محدّبة* ذات أوجه متطابقة، وكل وجه عبارة عن مضلّع منتظم** محدّب . يوجد 5 مجسمات فقط من هذا النوع وهي:
1- المكعب (Cube)
2- ذو الإثنا عشر وجهاً (Dodecahedron)
3- ذو العشريين وجهاً (Icosahedron)
4- ثماني الأوجه المنتظم (Octahedron)
5- الهرم المنتظم (Tetrahedron).
وقد بُرهن انتظامها من قبل إقليدس في فرضيته الاخيرة عن العناصر.
تسمى هذه المجسمات أحياناً بالمجسمات الكونية، على الرغم من أن هذا المصطلح يستخدم أحيانا للإشارة ايضا على مجسمات كيبلر-بوينسوت (Kepler-Poinsot )***.
عرف الاغريق القدامى هذه المجسمات ووصفها أفلاطون في أحد كتاباته (Timaeus) حوالي 350 قبل الميلاد. وكما هو معروف عند الإغريق فالعناصر الأساسية الأربعة، هي النار، الأرض، الماء و الهواء، فربط أفلاطون الهرم المنتظم بعنصر النار والمكعب بعنصر الأرض و ذو العشرين وجه بالماء و ثماني الأوجه المنتظم بالهواء، أما ذو الإثنا عشر وجهاً ربطه بالمواد التي تشكل الأبراج (النجوم) والجنّات.
اكتشف سكان اسكوتلندا في العصر الحجري هذه المجسمات قبل أفلاطون بآلاف السنين، حيث وُجدت نماذج عن هذه المجسمات الحجرية من ذلك العصر وهي الآن محفوظة في متحف أشموليان في أوكسفورد.
هذه المجسمات في عالمنا ثلاثيّ الأبعاد، ماذا عنها في أبعاد أخرى؟
أثبت Schläfli (رياضيّ سويسريّ متخصص في الهندسة والتحليل العقديّ) أنه يوجد فقط ستّة أشكال منتظمة ذات خصائص أفلاطونية في أربعة أبعاد، وثلاثة أشكال فقط في خمسة أبعاد و أكثر، لكن للأسف فإن عمل Schläfli لم يُعرف حتى نُشر جزء منه باللغة الإنجليزية من قبل الرياضي البريطانيّ كيلي ( Cayley).
توّصل رياضيون آخرون بعد ذلك لنتائج مشابهة بشكل مستقل عن Schläfli مثل الرياضي سترينغام (Stringham) وتم نشر عمل Schläfli بشكل كامل بعد وفاته في عام 1901.
كيف ننشئ مجسماً افلاطونياً؟
رباعي الوجوه المنتظم (انطلاقاً من نقطة):
إذا انطلقنا من نقطة واحدة وهي الرأس لتشكيل مجسم فإننا نحتاج على الأقل لثلاثة أوجه تلتقي عند هذا الرأس وإن أقل عدد من الأضلاع لتشكيل وجه هو ثلاثة أضلاع فسيتشكل مثلث، باستخدام مثلثات متساوية الأضلاع ننشئها على هذا المثلث (قاعدة) يكتمل المجسم وينتج لدينا رباعي الوجوه المنتظم.
ثماني الوجوه المنتظم (انطلاقاً من اربعة مثلثات):
لو جعلنا أربعة مثلثات تلتقي عند الرأس في الفراغ ويشترك كل مثلثين منها بضلع سيتشكل لدينا قاعدة (مربع)، وباستخدام الشكل نفسه يمكننا مطابقة القاعدة على القاعدة فينتج ثماني الوجوه المنتظم.
ذو العشرين وجه المنتظم (انطلاقاً من خمسة مثلثات):
لو جعلنا خمسة مثلثات تلتقي عند الرأس في الفراغ لن يظهر شكل واضح، لكن بوضع خمسة مثلثات عند كل رأس سيتشكل مجسم بعشرين وجه من المثلثات يسمى بذي العشرين وجهاً أو العشروني.
ولكن انطلاقا من ستة مثلثات تلتقي في نقطة لن نحصل الا على مثلثات تقع على مستو بحيث لا تسمح بانشاء مجسم، فلنبحث عن شكل آخر.
المكعب (انطلاقاً من مربع):
باتباع نفس الخوارزمية بوضع ثلاثة مربعات تلتقي برأس واحد في الفراغ، نجد أن القاعدة لا تشكل وجهاً، لكن باستعمال الشكل نفسه يمكننا مطابقة القاعدة على القاعدة نحصل على مجسم بستة أوجه نسميه المكعب.-يمكننا انشاء مكعب بعدة طرق ولكن تماشياً مع اسلوب انشاء المجسمات السابقة-
ذو الاثني عشرة وجهاً (انطلاقاً من مخمّس):
وأخيراً بالانتقال إلى المخمس ووضع مثلثات عند كل رأس نحصل على مجسم آخر بإثني عشرة وجهاً يسمى بذي الإثني عشرة وجهاً.
ما خواص هذه المجسمات؟
إذا كان لدينا مجسم ذو سطوح متعددة بأوجه منتظمة محدبة، فحسب الرياضي كرومويل (Cromwell) العبارات التالية متكافئة:
1- تقع رؤوس المجسم على كرة.
2- جميع الزوايا بين وجوه المجسم متساوية.
3- عملية قص زوايا المجسم من منتصف الأضلاع تعطي أوجه منتظمة.
4- كل الزوايا لأوجه المجسم من المركز متساوية.
5- كل الرؤوس محاطة بنفس العدد من الأوجه.
في الجدول التالي نشاهد أمثلة عن عدد الرؤوس، عدد الأضلاع و عدد الوجوه للمجسمات الافلاطونية:
خصائص أخرى للمجسمات الافلاطونية:
بما أن جميع الأضلاع متساوية والأوجه متطابقة فانه بامكاننا من خلال معرفة طول الضلع فقط التوصل لمساحة و حجم أي من المجسمات ومعرفة طول قطر الكرة التي تمر من جميع الرؤوس، والكرة التي تمسّ جميع الأضلاع، والكرة التي تمس جميع الأوجه.
كما أن الزوايا في الوجه الواحد متساوية، وكذلك الزوايا بين الأوجه المتلاصقة متساوية. وأيضاً عدد الأضلاع عند كل رأس هو ضعف قسمة عدد جميع الأضلاع على عدد جميع الرؤوس. كما بمعرفة رمز Schläfli لمجسم يمكننا التوصل لعدد رؤوس وأضلاع ووجوه المجسم الأفلاطوني الموافق.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
*الشكل المحدب هو كل شكل يحوي جميع الخطوط الواصلة بين أي نقطتين فيه
**الشكل المنتظم هو كل شكل تتساوى فيه أطوال أضلاعه و زواياه
*** مجسمات كيبلر هي مجسمات منتظمة غير محدبة
المصادر:
ترجمة:محمد عمار الشرفاوي الجزائرلي
تدقيق: وعد داده
صورة: