مفارقة Sierpinski - Mazurkiewicz

رأينا في مفارقة باناخ-تارسكي (هنا ) أنّه من الممكن تجزئة كرة مصمتة ثلاثيّة الأبعاد إلى خمس أجزاء وإعادة تجميعها لنحصل على كرتين مصمتين كل منهما بحجم الكرة الأصلية، وذلك دون تغيير في شكل الأجزاء.
بناء هذه المفارقة يعتمد على ما يدعى بـ "بديهيّة الاختيار "، لكن بإمكاننا بناء مفارقة تجزيئيّة شبيهة بها لا تعتمد على هذه البديهية.
في أي مستوي توجد مجموعة جزئية - لنسمّها S - يمكن تقسيمها إلى مجموعتين A و B. إذا ما حُرِّكت A بمقدار 1 تؤول إلى المجموعة الأساسيّة S، كذلك إذا دُوِّرت المجموعة B بمقدار راديان واحد تصبح المجموعة S. أي أنّ المجموعة S مكافئة لنسختين من نفسها!
تتساءل كيف يمكن ذلك ؟ لنرَ:
ليكن لدينا العدد المركّب x=e^i ، وهو عدد سامٍ (والعدد السامي أو المتسامي هو كل عدد حقيقي أو عقدي ليس جذراً لأيّ كثير حدود حقيقي غير صفري)، ولتكن S هي مجموعة جميع كثيرات الحدود للمتغير x بمعاملات عددية غير سالبة.
لاحظ أنّ S هي مجموعة من النقاط في المستوي العقدي (المركّب)، وبسبب الطبيعة السامية للعدد x=e^i فإنّ كل كثير حدود من المجموعة S يمثّل نقطة مميّزة من المستوي. على سبيل المثال أحد عناصر S هو كثير الحدود:
3 x3 + 4 x2 + 7.
الآن لتكن A مجموعة جزئية من S حيث الحد الثابت في كثير الحدود يساوي الصفر (مثلاً : 3 x3 + 4 x2 )
ولتكن B أيضاً مجموعة جزئية من S ولكن هذه المرة الحد الثابت في كثيرات الحدود فيها لا يساوي الصفر (مثلاً : 3x3+ 4x2+1) .
واضح أنّ اجتماع A و B يعطينا S .
لو دوّرنا جميع نقاط المجموعة A بمقدار راديان واحد باتجاه عقارب الساعة (وذلك بضرب كل نقطة من A بـ x-1=e-i) سنحصل على المجموعة S .
تتساءل لماذا؟
لأنّ كثيري حدود المجموعة A (التي لا تحوي حدّا ثابتاً) هي عبارة عن مضاعفات لـ x، وبالتالي ضربها بمقلوب x يعطي كل كثيري حدود S.
بطريقة مشابهة لو حرّكنا جميع نقاط المجموعة B لليسار بمقدار 1 (وذلك بطرح 1 من كل نقطة من B)، سنحصل على المجموعة S لأنّ كثيري حدود المجموعة B تحوي حدّا ثابتاً هو عدد حقيقي موجب، وبالتالي طرح 1 يعطينا كل كثيري حدود S، بما فيهم كثيرات الحدود التي لا تحوي حدّاً ثابتاً

المصدر:

هنا