الرياضيات > الرياضيات
نظرية الفئات - Category Theory
نظرية الفئات هي علم حديث من علوم الرياضيات وتعتبر فرعاً من الجبر
والفئة هي بنية جبرية تتمتع بالعديد من الخواص المكملة هندسياً، منطقياً، حسابياً، وعددياً، كما أنها تشبه الزمر (groups) بأنها بنية جبرية متعددة الوجوه (many-faceted).
قام العديد من العلماء بالعمل على الفئات، حيث أن أول من عرّفها كان إيلينبيرغ و ماكلين Eilenberg & Mac Lane عبر بحث نُشِر عام ( 1945) بعنوان " النظرية العامة للتطابق الطبيعي" * حيث عرّفوا التطبيقات ( Functor ) وهي كلمة مستخدمة من قبل الفيلسوف رودولف كارنيب، كما استعاروا مفردة " فئة" ( Category) من الفلاسفة أرسطو، وكانت Kant، بيرس C. S. Peirce وقاموا بتعريفها رياضياً، حيث تتألف الفئة من مجموعة من الأشياء ( Objects ) بين أي شيئين يوجد مورفيزم** من أحدهما للآخر والعملية المعرّفة بين المورفيزمات هي تركيب المورفيزمات. ولابد من أن تحقق الفئة شرط وجود الحيادي والخاصيّة التجميعية.
يحقق المورفيزم القوانين التالية:
1- إن كان لدينا مورفيزم f بين A و B و مورفيزم g بين B و C فإنه يوجد مورفيزم g o f وتُقرأ g بعد f ويكون هناك مورفيزم h من A إلى C.
2- تركيب المورفيزمات فهو تجميعي.
3- من أجل أي عنصر A من عناصر ( Objects ) يوجد موفيزم حيادي IA بحيث يحقق، أنه من أجل أي مورفيزم f فإن IA o f=f o I_A=f
شرط إضافي:
يحدّد بعض علماء الرياضيات شرطاً إضافيا على المورفيزمات أنه لا يمكن أن يتساوى مورفيزميين إن لم تتطابق بدايتهما ونهايتهما.
أمثلة عن الفئات:
1- فئة المجموعات: هي صف من المجموعات معرّف عليها موفيزم على أنه التوابع المعرّفة على المجموعات.
2- فئة الزمر: هي صف من الزمر معرّف عليها المورفيزم على أنه مجموعة التشاكلات** الزمرية.
3- الفئة وحيدة الشيء: صف مؤلف من شيء واحد A، ومعرّف عليها التطبيق المطابق IA.
إن لنظرية الفئات تطبيقات واسعة، فقد طُوّرت أدوات كثيرة لدراسة الفئات. لنأخذ الطبولوجيا مثلاً ولنشكل منها فئة. إن عناصر الفئة هي المجموعة المفتوحة المعرّفة في الفضاء الطبولوجي والمورفيزم هو عملية الاحتواء. يمكن التحقق من جميع الشروط بسهولة.
وبالنتيجة يحق لبعض دارسي الرياضيات أن يعتبروا أن نظرية الفئات هي أصل الرياضيات، وأن هذا اللقب ينبغي أن يكون للفئات بدلاً من أن يكون لنظرية المجموعات. ولكن حقيقة الأمر ومنذ قرنين حتى الآن فإن أصل الرياضيات هو بديهية الأصل ( بديهية الانتظام).
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
* General Theory of Natural Equivalences
** المورفيزم أو التشاكلات هي تطبيقات معرّفة بين مجموعتين من العناصر، وطبعاً يتغير المسمى بتغير المجموعة المعرّف عليها.
المصادر:
هنا
هنا
هنا
هنا
يحقق المورفيزم القوانين التالية:
1- إن كان لدينا مورفيزم f بين A و B و مورفيزم g بين B و C فإنه يوجد مورفيزم g o f وتُقرأ g بعد f ويكون هناك مورفيزم h من A إلى C.
2- تركيب المورفيزمات فهو تجميعي.
3- من أجل أي عنصر A من عناصر ( Objects ) يوجد موفيزم حيادي IA بحيث يحقق، أنه من أجل أي مورفيزم f فإن IA o f=f o I_A=f
شرط إضافي:
يحدّد بعض علماء الرياضيات شرطاً إضافيا على المورفيزمات أنه لا يمكن أن يتساوى مورفيزميين إن لم تتطابق بدايتهما ونهايتهما.
أمثلة عن الفئات:
1- فئة المجموعات: هي صف من المجموعات معرّف عليها موفيزم على أنه التوابع المعرّفة على المجموعات.
2- فئة الزمر: هي صف من الزمر معرّف عليها المورفيزم على أنه مجموعة التشاكلات** الزمرية.
3- الفئة وحيدة الشيء: صف مؤلف من شيء واحد A، ومعرّف عليها التطبيق المطابق IA.
إن لنظرية الفئات تطبيقات واسعة، فقد طُوّرت أدوات كثيرة لدراسة الفئات. لنأخذ الطبولوجيا مثلاً ولنشكل منها فئة. إن عناصر الفئة هي المجموعة المفتوحة المعرّفة في الفضاء الطبولوجي والمورفيزم هو عملية الاحتواء. يمكن التحقق من جميع الشروط بسهولة.
وبالنتيجة يحق لبعض دارسي الرياضيات أن يعتبروا أن نظرية الفئات هي أصل الرياضيات، وأن هذا اللقب ينبغي أن يكون للفئات بدلاً من أن يكون لنظرية المجموعات. ولكن حقيقة الأمر ومنذ قرنين حتى الآن فإن أصل الرياضيات هو بديهية الأصل ( بديهية الانتظام).
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
* General Theory of Natural Equivalences
** المورفيزم أو التشاكلات هي تطبيقات معرّفة بين مجموعتين من العناصر، وطبعاً يتغير المسمى بتغير المجموعة المعرّف عليها.
المصادر:
هنا
هنا
هنا
هنا