مجموعة كانتور.. حين يصبح الصفر مساوياً للانهاية!

ما هي مجموعة كانتور ؟

دعونا نبدأ بأخذ المجال المغلق (الفترة) [0،1] ولنقم بتقسيمه إلى ثلاثة أجزاء متساوية ثم سنزيل منها الجزء الأوسط وهو المجال المفتوح ]3/2 ، 3/1[، نكرر هذه العملية مع المجالين المتبقيين أي نقسم كل مجال إلى ثلاثة أقسام متساوية ثم نزيل الجزء الاوسط منها أي أننا سنزيل المجالات ]9/2 ، 9/1[ و ]9/8 ، 9/7[ ، ولنكرر هذه العملية عدد غير منته من المرات كما هو موضح في الشكل التالي :

إن النقاط التي ستتبقى لدينا في هذه الكسيرية (هنا ) الظاهرة في الشكل تدعى مجموعة كانتور القياسية، وهي مجموعة غير منتهية من النقاط، هذه النقاط المتبقية هي حدود المجالات التي تمت إزالتها في كل الخطوات. والسؤال هنا هل باستطاعتنا ترتيب هذه النقاط؟

لنجيب على السؤال دعونا نتمعن قليلاً في الخطوات التي قمنا بها، لقد كان لدينا مجال طوله (1) ثم أزلنا منه عدد من المجالات، فما هو مجموع أطوال هذه المجالات التي تم حذفها بعد تكرار عملية الحذف عدداً لا نهائياً من المرات؟

حقيقةً نحن قمنا في الخطوة الأولى بإزالة مجال طوله (3/1)، أما في الخطوة الثانية فقد أزلنا مجالين طول كلٍ منهما (9/1)، ثم في الخطوة الثالثة أزلنا أربع مجالات طول كلٍ منها (27/1) وهكذا

إذاً ماهو مجموع أطوال هذه المجالات المحذوفة؟

لو نظرنا إلى عدد المجالات المحذوفه في كل خطوة وأطوالها لوجدنا أنها تشكل متسلسة هندسية كما سنرى، وأن مجموع هذه المتسلسه هو (1).

لنتوقف قليلاً عند مجموع هذه المتسلسلة الذي نعلم أنه يساوي (1) والذي يعبر عن مجموع أطوال المجالات المحذوفة.

لكننا قلنا سابقاً أننا بعد تكرار عملية الحذف عدداً لا نهائياً من المرات سنحصل على مجموعةٍ لا نهائيةٍ من النقاط، فهل نقصد أن مجموعةً لا نهائيةً طولها (0)؟

الجواب هو نعم. ليس ذلك فقط بل أنها مجموعة غير قابلةٍ للعد، فلديها عدد لانهائي من نقاط المجال الذي ابتدئنا به

مجموعة كانتور اخترعها هنري جون ستيفان سميث عام 1874 وكتب عنها وفصلها جورج فرديناند لودفيغ فيليب كانتور.

هنري سميث (1826 _ 1883)م : عالم رياضيات ايرلندي له اسهامات كبيره في نظرية المصفوفات .

جورج كانتور (1845 _ 1918)م : عالم رياضيات ألماني يشار إليه بأنه واضع نظرية المجموعة الحديثة.

المصدر:

هنا