الرياضيات > الرياضيات
الزمرة الأساسية وطبيعة المجسّمات الهندسيّة
تخيّل أنك تعرضت للإختطاف على يد فضائيين أشرار، ووضعوك وأنت معصوب العينين على جُرمٍ في الفضاء. ترفع العصابة عن عينيك مرعوباً وتحاول أن تكون ابن بطوطة وتبدأ الاستكشاف مشياً في اتجاه واحد إلى اللانهاية وأنت تتساءل هل هذا الجُرم مسطّح أم مكوّر؟ كما في قصّة هانسل وكرتل تقوم بترك فتات الخبز ورائك لئلا تضيع، وبعد عدة ساعات تعود إلى نقطة البداية.
يتضح لك أن هذا الجُرم لابد أن يكون مكوّراً ومن غير الممكن أن يكون مسطحّاً وعندئذ تخطر ببالك فكرة مجنونة، أيكون شكل الجُرم "طارة" كما الدونَت (أنبوبة حلقية) وليس كرة؟ كيف يمكنك التتحقق من ذلك؟
تبدأ المشي باتجاه عمودي على طريق الأسبق، في هذه المرّة تترك وراءك فتات الجبن. على فرض أنك عُدت لمكانك بعد وقت طويل وجدت أن خطّي الخبز والجبن لم يتقاطعا عدا عند نقطة البدء. فماذا يمكنك أن تستنبط الآن؟
فكّر في ذلك.
الفكرة الريّاضية وراء هذه القصة:
بما أن حلقتي الخبز والجبن لم تتقاطعا فإن الشكل بالتأكيد ليس كرويا*، وإنما يجب أن يكون له شكل الطارة أو شكلاً آخر ذا ثقوب أكثر.
غالباً ما يدرس علماء الرياضيات السطوح اعتماداً على خواص بنيتها الذاتيّة. إحدى هذه الطرق هي أن ندرس مجموعة جميع الحلقات (الطرق) التي يمكن تشكيلها على ذلك السطح: تدعى هذه المجموعة بالزمرة الأساسية . يمكننا تعريف عملية جمع الحلقات كما نجمع المتسلسلات، ويمكننا تعريف تساوي حلقتين بإنه إن استطعنا الوصول من الأولى للأخرى عن طريق تحويلٍ تبولوجي مناسب، يمكن أن نثبت بأن الزمرة الأساسية هي ثابت تبولوجي. أي لا يتغير بالتحويلات المطبّقة على سطحه. بالطبع يمكن أن نقول أن سطحين ليسا متساويين إن لم يكن لهما ذات الزمرة الأساسية. هذه هي فكرة الزمرة الأساسية في التبولوجيا.
اذاً ماهو التعريف الرياضي لها؟
الزمرة الأساسية لمجموعة Χ هي زمرة مؤلفة من مجموعات من الصفوف المتكافئة لمجموعة جميع الحلقات، بمعنى آخر هي جميع الطرق التي تبدأ وتنتهي بنقطة أساس واحدة ويُعرّف عليها علاقة تكافؤ**.
كما أن الزمرة الأساسية يمكن أن تطبق من فئة الفضاءات التبولوجية المدببة إلى فئة المجموعات.
مثلاً إن الزمرة الأساسية المعرّفة على شريط موبيوسMöbius strip هي زمرة الأعداد الصحيحة ℤ أمّا لإيجاد الزمرة الأساسية لزجاجة كلاين Klein Bottle فهي تحتاج بعض التخصص في التحويلات التبولوجية.
.هنا
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
* المجسم الكروي: لا يقتصر على الكرة فقط بل تعنى بأي مجسّم مُصمت لايتخلله أيّة ثقوب.
** علاقة التكافؤ: هي علاقة بين عنصرين من مجموعة بحيث تكون انعكاسيّة، تناظرية، و متعديّة والتي تعرّف صفوفاً من العناصر ترتبط بين بعضها البعض بهذه العلاقة، أنه إن أخترت عنصرين من صفّين مختلفين فلن يكونا مرتبطين بهذه العلاقة.
المصادر: