رسومات السانجاكو اليابانية تكشف عن الجانب المقدس في الرياضيات

قبل بضع مئات من السنين في اليابان، كانت الشينتو هي الديانة القومية في اليابان، وكان على المتعبدين تقديم شكرهم للكامي (وهو لفظ يشتمل على كافة أصناف الآلهة المعروفة لدى اليابانيين) عن طريق تقديم الأضاحي. في تلك الفترة كان الناس يعتقدون أن الكامي تحب الخيول، والتي كانت قيّمة وباهظة الثمن، لذلك وجد الفقراء صعوبة في التعبير عن امتنانهم، فجاؤوا بالحل التالي: عوضاً عن تقديم حصانٍ حيّ كأضحية، يمكن لأحدهم رسم حصان على لوح خشبي ومن ثم تعليقه في المعبد.

في الحقيقة، العديد من الألواح في القرن الخامس عشر وفي وقت أبكر من ذلك كانت تصوّر خيولاً. ثم لاحظ شخص ما -يعتقد بأنه أحد الساموراي الفقراء- أن الخيول كانت تقريباً الشيء الوحيد الذي يتم رسمه على هذه الألواح، فخطرت بباله فكرة رسم شيء ما مبتكر، فيه لمسة من الإبداع، فقدم الرياضيات (1)

حيث تمّ تزيين المعابد اليابانية بالمئات من الألواح الخشبية ذات الرسوم الجميلة والألوان المتعددة والتي رسم عليها مسائل رياضية ونظريات هندسية .هذه الألواح تدعى سان غاكو"Sangakus"، وهي تعني حرفياً "ألواح الرياضيات".

انتشرت السان غاكو خلال فترة حكم شوغونية توكوغاوا (و هو نظام سياسي إقطاعي في اليابان أسسه توكوغاوا إياسو وأطلق على الإمبراطور لقب شوغون وتعرف الفترة التي ساد فيها هذا النظام بفترة إيدو وامتدت بين 1603 و 1868 والتي جاء اسمها من اسم مدينة إيدو (طوكيو حالياً)). خلال هذه الفترة تم إغلاق البلاد بالكامل في وجه النفوذ الأجنبي، وتم حظر السفر من وإلى الغرب واعتُبِر جريمة يُعاقَب عليها بالإعدام. هذه الفترة من العزلة عرفت باسم "السلام العظيم". كانت النتيجة نوعاً من النهضة في اليابان، حيث ازدهرت التقاليد الثقافية الفريدة كاحتفالات الشاي، مسرح العرائس، والمطبوعات الخشبية..

في نفس الوقت أقنع الشوغون محاربي الساموراي بإلقاء أسلحتهم وأن يصبحوا موظّفين حكوميّين. لكن أجرهم كان منخفضاً فقام الساموراي بالبحث عن أعمال إضافية لسدّ حاجتهم، ومن بين هذه الأعمال كان تدريس الرياضيات في المدارس. خلال هذه الفترة أصبحت العلاقات مع الغرب مقطوعة بشكل شبه كامل، لذا فإن هذه الألواح أُنشئَت باستخدام الرياضيات اليابانية "الـWasan" وتم تطويرها بالتوازي مع رياضيات الغرب. فعلى سبيل المثال، النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل كانت غير معروفة في اليابان، لذا تم حل مسائل السان غاكو حول المساحات والأحجام عن طريق دراسة المتسلسلات اللانهائية وحسابها بشكل تقريبي (Term-by-term calculation).

إن السان غاكو ليست مجرد رسوم جميلة للغاية، ولكن مسائلها غالباً ما تكون صعبة للغاية، وحلولها يمكن أن تكون ذكية جداً، حتى أن بعض هذه الحلول قد لا تخطر على البال. ويُعتقَد أن الغرض من وراء السان غاكو -وإن كان يدل ظاهرياً على التعبير عن امتنانهم للآلهة في مسألة ما- كان أحيانًا بقصد التبجّح وتحدّي أشخاصَ آخرين من أجل حلّ المسألة، فعلى سبيل المثال تصرّح واحدة من السان غاكو "هذه الإجابة صحيحة حتى 15 منزلة عشرية، وكأنها تقول لك "حاول أن تتجاوز ذلك إن استطعت!"

معظم السان غاكو تحتوي فقط على الإجابة النهائية للمسألة مع مخطط توضيحي، دون أن يكون هنالك أي برهان عليها. والطريقة الأكثر مباشرة لإثباتها يعتمد على مبرهنة كارنو والتي لم تكن قد بُرهِنَت في الغرب حتى 100 عام بعد انتشار السان غاكو.

التقليد المتمثّل بتعليق السان غاكو مات تدريجياً بعد سقوط شوغونية التوكوغاوا، لكن بعض المخلصين استمر في تعليقها حتى نهايات عام 1980.

أمثلة عن مسائل السان غاكو:

مثال1:

خذ دائرة وارسم داخلها مضلّعاً، بحيث تقع رؤوس هذا المضلع على محيط الدائرة. اختر واحداً من رؤوس هذا المضلع واربطه بمستقيمات مع جميع الرؤوس الأخرى، الأمر الذي ينتج عنه تقسيم هذا المضلع إلى مثلثات. داخل كل واحد من هذه المثلثات قم برسم دائرة تمس داخلاً جميع أضلاع هذا المثلث. عندئذٍ أثبت أن مجموع أنصاف أقطار هذه الدوائر يبقى ثابتاً، بغض النظر عن الرأس الذي اخترته.

مثال2:

كما هو موضح بالشكل، ثلاثة دوائر A، B، C محيط كل منها: 2/3 + 56 كيلو متر ، 5/7 + 30 كيلو متر، 3/4 + 13 كيلو متر على الترتيب، وجميع هذه الدوائر تمر من النقطة P.

ثلاثة خيول a، b، c تبدأ بالمشي حول A، B، C إبتداءً من النقطة P في وقت واحد، سرعة الحصان a هي 41/1000 + 8 كيلومتر في اليوم، سرعة الحصان b هي 123/4000 + 6 كيلومتر في اليوم، سرعة الحصان C هي 41/2000 + 4 كيلومتر في اليوم.

ما هو عدد الأيام التي ستمر قبل أن تتلاقى الخيول الثلاثة في النقطة P مرة أخرى؟

الإجابة: تلتقي الخيول مرة أخرى بعد 20000 يوم من إطلاقها.

مثال3:

كما هو واضح في الشكل كرات صغيرة ذات نصف قطر r تغطي كرة كبيرة نصف قطرها R، حيث أن كل كرة صغيرة تمسّ أربع كرات صغيرة أخرى، أوجد R بدلالة r. الإجابة: R = \sqrt{5} r هل يمكنك عزيزي القارئ إيجاد البراهين المناسبة لهذه المسائل؟

ملحق:

1- لا يمكن تحديد العام أو العقد الذي بدأ فيه تقليد السان غاكو، لكن أقدم الألواح التي نجت ووصلت إلينا وجدت في محافظة Tochigiوتعود إلى العام 1683. لقد فُقِدَ العديد من هذه الألواح في فترة التحديث التي تلت فترة إيدو، ومن بين الآلاف من هذه الألواح لم يصل إلينا منها اليوم سوى 900 لوح. النص على هذه الألواح مكتوب بلغة تسمى Kanbun والتي استخدمت الحروف الصينية، وبشكل أساسي القواعد الصينية، لكنها تحمل علامات مميزة للإشارة للمعنى الياباني. ولعبت لغة ال Kanbun في ذلك الوقت دوراً مشابها للاتينية في الغرب، فقد كانت لغة العلماء واستخدامها على السان غاكو يشير إلى أنّ الذي وضع هذه المسائل قد كان على درجة عالية من الثقافة. مع ذلك، فالنقوش على هذه الألواح توضح بجلاء أن من قد أنشأ هذه الألواح هم صفوف كاملة من التلاميذ، الأولاد، وحتى النساء في بعض المناسبات.

2- في الحقيقة واعتباراً من عام 1800، جمعت عدة مجموعات من مسائل السان غاكو في كتب، متضمنةً الحلول. لذلك يعرف الباحثون طرق حل العديد من هذه المسائل، ولكنّ اثنتين من السان غاكو بقيتا دون حلٍّ حتى يومنا هذا. واحدة منها تؤدي إلى معادلة من الدرجة 1024 وقد توصل الرياضيّون إلى تخفيضها إلى معادلة من الدرجة العاشرة، لكنها تبقى درجة كبيرة جدًا حتى يتم حلها.

الحاشية:

(1) تم تعليق هذه اللوحة في مزار Kinshouzan في محافظة Gifu في العام 1865. وقد رُسم عليها 12 مسألة هندسية مختلفة. قدمت المسألة الثالثة من اليمين من قبل فتاة تبلغ من العمر 16 عاماً.

المصادر:

Sacred Mathematics - Japanese Temple Geometry، Fukagawa Hidetoshi، Tony Rothman، Princeton University Press، 2008

هنا