لنعتبر ان لدينا أنبوبين اسطوانيّي الشكل متطابقين ويتقاطعان في زوايا قائمة، ولنفكر بشكل الحجم الذي ينتمي إلى كل من الأنبوبين معاً. هذا الشكل في الرياضيات الصينية القديمة يسمى Mouhefanggai، ويمكن أن يترجم إلى "مظلتين مربعتين".

Image: http://nrich.maths.org

دعونا نفترض أن نصف قطر قاعدة كلا الأسطوانتين هو r، وأنهما موضوعتان على مستوى أفقي، شكل Mouhefanggai الناتج عن تقاطعها ارتفاعه 2r. إذا أخذنا مقطعاً أفقياً بشكل متكرر فإن ذلك سيعطي مجموعةً من الشرائح، و كل شريحة منه ستكوّن مربعاً، وطول ضلع أكبر مربع في الوسط 2r.
يمكننا تبسيط الأمور قليلاً من خلال التعامل مع جزء من مجسم Mouhefanggai بدلاً من التعامل معه كاملاً.
حيث يمكننا ببساطة أن نقطعه الى ثماني قطعٍ متطابقة، من خلال تقطيعه بثلاثِ اتجاهات متعامدة : أفقياً لنحصل على شكل خيمة لها قاعدةٌ ثابتة وأربعة جدران منحنية. ثم عاموديا حيث نقطع هذه الخيمة إلى أربعة أجزاء.
الان لنأخذ واحدة من القطع الثمانية، ولنتخيل أنها موضوعة في مكعب مفرغ طول حرفه r، كما هو مبين بالشكل:

Image: http://nrich.maths.org
وبدلاً من إيجاد حجم الجزء المدروس من قطعة Mouhefanggai، سنجد حجم ما تبقى من المكعب الذي وضعت فيه.

لنقوم بذلك سنأخذ شريحةً أفقية عبر المكعب، ارتفاعها h فوق القاعدة. إذا نظرنا الى هذه الشريحة، سنرى مربع طول ضلعه r.

Image: http://nrich.maths.org
والمربع الصغير في الزاوية هو جزءٌ من مجسم Mouhefanggai، سوف نفترض الآن، أن طول ضلع هذا المربع هو k. وبالتالي المساحة المتبقية التي تأخذ الشكل L ستكون

الآن دعونا نفكرُ مرة أخرى من أين جاءت تلك الشريحة. إذا نظرنا الى هذا المشهد الأمامي من المكعب، أي الشريحة الشاقولية الموافقة سنرى أن k وh وr تشكل مثلث قائم الزاوية.

Image: http://nrich.maths.org
وباستخدام نظرية فيثاغورس وبالتالي المساحة التي تأخذ لشكل L تعطى بالعلاقة .

الآن يجب التفكير في مجسم عندما نقطعه على ارتفاع h يعطينا شريحة مساحتها ، بحيث تكون مساحة الشريحة السفلى تساوي الصفر، وتزيد تدريجياً كلما اتجهنا للأعلى إلى أن نصل إلى

الشكل التالي يبين المجسم المطلوب:

Image: http://nrich.maths.org
وإذا كانت كل الشرائح متماثلةٌ، يجب أن يكون حجمه .
وهو حجم القسم المتبقي من المكعب، وعلماً أن حجم المكعب كاملاً ، فاذا قطعة Mouhefanggai حجمها ، لذلك حجم Mouhefanggai كاملاً
(فهو مؤلف من 8 قطع).

على الرغم أنه من الجيد أن نتمكن من حساب حجم شكل Mouhefanggai بهذه الطريقة البسيطة إلا أنه ليس شكلاً يمكن أن نحتاج العمل معه بتلك الكثرة ، ولكن يمكن تطبيقُ المنهجية نفسها لحساب أحجام مجسمات أخرى أكثر استخداما في الحياة العملية.

يمكن حساب حجم مخروطٍ من خلال مقارنتِه مع الهرم القائم على المربع الذي يمكنُ وضع المخروط فيه.

Image: http://nrich.maths.org
الآن لنتخيل الكرة داخل Mouhefanggai المناسب!

Image: http://nrich.maths.org
ستتألف أي شريحة أفقية من دائرة نصف قطرها x داخل مربع طول ضلعه 2X. وتبلغ مساحة الدائرةπr^2.
ومساحة المربع نسبة الدائرة إلى المربع هي π/4

لذلك، على كل شريحة، مساحة الدائرة هي π/4 مساحة المربع. وهذا يعني أن حجم المجسم سيكونπ/4 من حجم مجسم Mouhefanggai. وذلك بديهيٌ كوننا نقوم بجمعٍ مستمر (تكامل) للسطوح للحصول على الحجم ، والفرق بين السطح والحجم بعد واحد و بالتالي تحافظ العملية على النسبة ، وبالتالي يعطى حجم الكرة بالعلاقة:
π/4 * 16r^3/3 = 4πr^3/3

هل ترغبون بمثال آخر؟ فإذا لنتخيل قطعة دونات، ولنقارنها مع اسطوانة:

Image: http://nrich.maths.org

قطع على ارتفاع X سيبدو كما يلي:

Image: http://nrich.maths.org
مقارنة الشرائح، يعني مقارنة حجوم المجسمين ونترك لكم إيجاد العلاقة النهائية.