سنكتشف في هذا المقالِ بعضَ خواصِ التّناظر الّتي تتمتّعُ بها جداولُ الضّربِ للأعدادِ الصّحيحة. دعونا نبدأ بجدولِ الضّربِ الأساسيّ. كما نرى يحوي الجدولُ أدناه الأعدادَ من 1 إلى 10 في السّطرِ الأوّلِ، وكذلك الأمرُ في العمودِ الأوّلِ. وأيُّ عنصرٍ آخرَ من عناصرِ الجدولِ يحوي ناتجَ ضربِ أوّلِ رقمٍ في سطرهِ مع أوّلِ رقمٍ في عمودِه.


Image: plus.maths

سنضيفُ سطرًا من الأصفارِ إلى أعلى الجدول وعمودًا من الأصفارِ إلى اليسار. هذا سيعطينا جدولًا متناسقًا، فالسّطرُ والعمودُ الأولان سيعطياننا ناتجَ الضّربِ بصفرٍ، أمّا السّطر والعمودُ الثّانيان سيعطياننا ناتجَ الضّربِ بواحدٍ، السّطرُ والعمودُ الثّالثان سيعطياننا ناتجَ الضّربِ باثنان، وهكذا دوالَيك. كما سيشكّلُ إطارًا جميلًا للنّمطِ الموجودِ في الجدول.


Image: +plus

فيما يلي سنلوّن عناصرَ من الجدولِ الّتي تُمثّلُ مضاعفاتِ العددِ k، وسنرى عدّةَ قيمٍ لـ k وسنكتشفُ جمال الأشكالِ المُتناظرة.

المضاعَفات المُفردة:
لنبدأ بـ k=2، سنلوِّنُ باللّونِ الأزرقِ كلَّ العناصرِ الّتي تُمثِّلُ مضاعفاتِ العددِ 2 (الصّفر هو أحدُّ مضاعفات العدد 2 لذا سنلوِّن عناصرَهُ بالأزرق أيضًا).


Image: +plus

هنا قد مدَدْنا الجدولَ قليلًا حتّى الرّقم 15 بالاتّجاهِ الأفقيِّ. وبما أنّه يُمكننا تمديدُ كلًا من الأعدادِ الصّحيحةِ على الجانبين إلى اللّانهاية، سنستمرُّ بتعديلِ أبعادِ الجدولِ فيما يلي لنعرض الأنماطَ النّاشئةَ بوضوحٍ أكبرَ.
لاحظوا أنَّ النّمطَ السّابق يمكن تجميعه معًا باستخدامِ اللّبنة الأساسيّةِ في بنائه وهي:


Image: +plus

تحتوي اللّبنةُ الأساسيّةُ للنّمطِ السّابقِ على 4=2×2=k×k خليّةً من جدولِ المضاعفات. العناصر الّتي لونُها أبيضٌ من النّمطِ تتألفُ من 1=2^(1-2)=2^(1-k ) خلية.
فيما يلي أيضًا صورٌ لجدولِ الضّربِ حيث قُمنا بتلوينِ مضاعفاتِ العددِ k باللّونِ الأزرق. هل يمكنكم أن تخمِّنوا ما هي قيمةُ k في كلِّ حالة؟ هل يمكنكم أن تتعرَّفوا على اللّبنة الأساسيّةِ لكلٍّ منها؟ وكم خليّة تحتوي وكم عدد العناصرِ الّتي تُشكِّلُ خلايا بيضاء؟


Image: +plus


Image: +plus

مضاعفاتٌ عدّةٌ لأعدادٍ متتاليةٍ
يظهرُ لنا نمطٌ أكثرُ إثارةً للاهتمامِ إن استخدمنا عدّةَ مضاعفاتٍ، ولكلٍّ منها استخدمنا لونًا، أيّ عدّةُ ألوانٍ. في الشّكلِ التّالي، سنلوِّنُ مضاعفاتِ العددِ 2 باللّونِ الأحمرِ، ومضاعفاتِ العددِ 3 باللّونِ البرتقالي (وسيسيطرُ اللّونُ البرتقالي على الخليّةِ في حالِ وجودِ عددٍ من مُضاعفاتِ الـ 2 وَالـ 3 بنفسِ الوقت، كالعدد 6 ).
هذا يُعطينا النّمطَ التّالي:


Image: +plus

لاحظوا أنّ اللّبنةَ الأساسيّةَ في بناءِ النّمطِ السّابقِ تتكوّنُ من 36=6×6 مربّعًا صغيرًا، وهذا منطقيٌّ، لأنَّ العدد 6 هو المضاعفُ المشتركُ الأصغرُ بين العددينِ 2 وَ3. يظهرُ التّناظُرُ من النُّسَخِ المتكرّرةِ من مربّعاتٍ من المرتبة 5×5 مع تناظرٍ رباعيٍّ رائع.
الشّكلُ التّالي يأخذُ الأمورَ لمستوىً أبعدَ من ذلك، حيث يقومُ بتلوينِ المربّعاتِ الّتي هي مضاعفاتُ العدد 2 باللّونِ الأحمرِ، ومُضاعفاتُ العددِ 3 باللّونِ البرتقالي، ومضاعفاتُ العدد 4 باللّونِ الأصفرِ. إن كانَ المربَّعُ مضاعفًا لأكثرِ من رقمٍ من الأرقامِ السّابقة (مثلًا العدد 6 مضاعفٌ لـ 3 وَ2) سيتمُّ تلوينه باللّونِ الخاصِّ بالعددِ الأكبرِ (أي في مثالنا باللّون البرتقالي). وسنلتزمُ بهذا العُرفِ في بقيّةِ مقالِنا.


Image: +plus

هذه المرّة تتكوّنُ اللّبنةُ الأساسيّةُ في بناءِ النّمطِ من 12×12 خليّةٍ، وهذا أيضًا أمرٌ منطقيٌّ، لأنّ 12 هو المضاعفُ المشتركُ الأصغرُ للأعدادِ 3 وَ2 وَ4. ويظهرَ التّناظرُ من خلالِ النُّسخِ المتكرِّرةِ لـ 11×11 خليّة والّتي تحتوي على 3×3 خليّةٍ والّتي مع بعضها تُشكِّلُ تناظرًا رباعيًّا رائعًا.
يمكننا الاستمرارُ في هذه اللّعبة إلى مالانهاية. الأشكالُ التّاليةُ تَستخدِمُ مضاعفاتِ الأعدادِ 4 وَ5 وَ6 وَ7 على التّرتيبِ وألوانِ الأعدادِ 4 وَ5 وَ6 وَ7 على التّرتيب. ما هي الأنماطُ الّتي يمكنكَ تمييزها؟ هل يمكنكَ العثورُ على أيّةِ محاورَ لتناظرٍ (مُنعكسٍ)؟ ما هو حجمُ اللّبنةِ الأساسيّةِ (المتكرّرةِ) لبناءِ التّناظرِ في كلِّ حالة؟ يمكنكم أن تنشروا إجاباتِكم في القسم المُخصَّصِ للتّعليقات أسفلَ المقالِ.


Image: +plus


Image: +plus


Image: +plus


Image: +plus

مضاعفاتُ أعدادٍ غيرِ متتابعةٍ:
الآن سنستخدمُ بعضَ القيمِ لـ k بحيثُ تكون غيرَ متتابعةٍ. في الأشكالِ التّاليةِ سنستخدِمُ الأزرقَ لمضاعفاتِ العددِ 6 وَالأخضرَ لمضاعفاتِ العدد 9.


Image: +plus

إنّ اللّبنةَ الأساسيّةَ لبناءِ هذا الشّكلِ تتألّفُ من 324=18×18 خليةٍ صغيرةٍ، لأنَّ 18 هو المضاعفُ المشتركُ الأصغرَ لـ 6 وَ9. كما نتفاجأ بوجودِ تسعِ نسخٍ مكرَّرةٍ من مربعات 5×5 الّتي تؤلِّفُ المربّعاتِ 17×17 المتكرّرةِ. هل يمكنكم إيجادُ تفسيرٍ رياضيٍّ لذلك؟
إليكم الآن بعضَ الأنماطِ الّتي قد تُعجبكم. في كلِّ حالةٍ تمَّ تلوينُ مضاعفاتٍ لأعدادٍ غيرِ متتاليةٍ. هل يمكنكم أن تخمّنوا ما هي الأرقامُ الّتي تمَّ تلوينُ مضاعفاتها وأن تخمّنوا الأنماطَ الّتي تظهرُ في كلِّ حالةٍ؟ تذكّروا أنَّه بإمكانكم أن تنشروا إجابَاتكم في قسمِ التّعليقاتِ أسفلَ المقالِ.


Image: +plus


Image: +plus


Image: +plus


Image: +plus


Image: +plus

الباقي:
أخيرًا، إن قمنا بتثبيتِ الرّقم k وأسندنا ألوانًا للخلايا اعتمادًا على الباقي بالنّسبة لـ k، فسيتمُّ مَلء جميعِ المربّعات. على سبيلِ المثالِ، فلنجعل جميعَ المربّعاتِ الّتي تكون مضاعفاتٌ للعددِ خمسة سوداءَ اللّونِ، والأرقامُ الّتي يكونُ الباقي فيها 1 بالنّسبةِ للعددِ 5 خضراءَ اللّونِ، والأرقام الّتي يكون الباقي فيها 2 بالنّسبةِ للعددِ 5 حمراءَ اللّونِ، والأرقام الّتي يكونُ الباقي فيها3 بالنّسبةِ للعدد 5 بنفسجيّةً اللّونِ، والأرقام الّتي يكون الباقي فيها 4 بالنّسبة للعدد 5 صفراءَ اللّونِ. ستكونُ النّتيجةُ كما هو موضَّحٌ في الشّكلِ التّالي:


Image: +plus

الخاتمة:
لقد اكتشفنا بعضَ الأشكالِ المنتاظرةِ الّتي تختبئ في جداولِ مضاعفاتِ الأعدادِ الصّحيحةِ الموجبةِ. من السّهلِ تشكيلُ هذه الأنماط (باستخدامِ برنامج Excel مثلًا) ويمكن شرحَها جميعها دونَ صعوبةٍ باستخدامِ الحسابِ المتعلِّقِ بالأعدادِ الكليّةِ ومعاييرِ القسمة. إنَّ تمثيلَ هذه التّناظراتِ باستخدامِ الألوانِ يقدِّمُ وجهًا جديدًا للرّياضيات. فصُوَرٌ من هذا النّوعِ قد تكون جذّابةً بالنّسبةِ لطلّابِ فَرعَي الرّياضياتِ والفنون، وقد يؤدّي ذلك إلى وجودِ تعاونٍ بينهما. نحن نأملُ في النّهايةِ أنَّ صورًا من هذا النّوعِ ستكونُ مُبهرَةً ومُلهمَةً للعديدِ من النّاس.

المصدر:
هنا