في القرن العشرين اكتشف الرياضيّون طرق للتحقق من الصيغ الرياضية لأشكال العناصر المعقدة، متسائلين إلى أي مدى يمكننا الاقتراب من صيغة رياضية حقيقية لشكل معقد ما ، و ذلك بتجميع عدة أشكال هندسية بسيطة بالتزامن مع زيادة ابعادها.
اتضح فيما بعد فعالية هذا المبدأ، و قد تم اعتماده و استخدامه في مسائل كثيرة و بطرق مختلفة مؤدية في نهاية المطاف إلى الوصول إلى طرق رياضية فعالة مكنت الرياضيين من القيام بعمليات ضخمة لفهرسة و تصنيف جميع العناصر و الأشكال التي ظهرت خلال أبحاثهم الرياضية .
لسوء الحظ، الأساس الهندسي لهذا المبدأ بقي مبهماً و في بعض الحالات كان من الضروري اضافة قطع دقيقة من اشكال معينة ليس لها اساس هندسي معروف .
ان فرضية هودج تؤكد فعالية هذا المبدأ من أجل الأنواع البسيطة من الفضاءات الجبرية المتعددة و تسمى هذه القطع الدقيقة بحلقات هودج و هي في الحقيقة صيغ رياضية من الجبر الخطي مصاغة من قطع هندسية تسمى الحلقات الجبرية .
لربما تكون فرضية هودج أشهر مسألة رياضية في علم الهندسة الجبرية و لكن الأبحاث الرياضية في هذه المسألة أو بالاتجاهات التي تستخدم هذه الفرضية قليلة و التطور فيها بطيئ و البحث في علم الهندسة الجبرية يسلك اتجاهات بعيدة عن حقول استخدامات فرضية هودج.
لمَ على الرياضيين البحث عن اثبات هذه الفرضية ؟ و كم هو مهم هذا الاثبات لعلم الرياضيات و للعلوم الأخرى .؟
تُعنى فرضية هودج بالعلاقة بين الطبولوجيا و الهندسة الجبرية، والفكرة الأساسية أنه يمكن تقسيم سطح معقد أملس إلى عدة أقسام متنوعة وذلك بالجمع المباشر للأسطح الجزئية الخطية، وفق علاقة رياضية تدعى علاقة هودج .
لماذا يعتبر اثبات فرضية هودج مهماً ؟
السبب الوحيد الذي يدفع الرياضيين إلى الاهتمام بفرضية هودج هو أنها تقوم بافتراض علاقة بين نظرية هودج و الحلقات الجبرية، وهذا الافتراض دفع الرياضيين إلى سلسلة طويلة من الاكتشافات عن الحلقات الجبرية، فمثلاً استخدم العالم مومفرد Mumford ” “فرضية هودج لإثبات أن المكافئات المنطقية لزمر تشاوChow للحلقات الصفرية يمكن أن تكون من البعد اللانهائي. هناك العديد من الاكتشافات المشابهة و معظمها ملخص في كتاب "نظرية هودج و الهندسة الجبرية المعقدة".*
سبب آخر يدفع الرياضيين إلى الاهتمام باثبات فرضية هودج، أنها تعتبر جزء من فئة كبيرة من الفرضيات التي تتناول الحلقات الجبرية، مما يجعل هذه الفرضيات تستند الى بعضها، كما أن بعض هذه الفرضيات تم إثباتها أو تجريبها.
إن فرضية هودج تنتمي إلى عدة فئات من الفرضيات. مثل فرضية بلوك Bloch التي تعتمد على نظرية هودج لسطح جبري لتحديد إذا كانت زمر تشاو Chow للحلقات الصفرية من البعد النهائي. كما هناك فرضية بيلينسيون ليتشنباوم Beilinson–Lichtenbaum و التي تم إثباتها مؤخراً من قبل فيفودسكي و روست. Voevodsky and Rost
تستند هذه الفرضيات على بعضها، و يحرز الرياضيين تقدماً مستمراً في واحدة او أكثر من هذه الفرضيات، و إن المحاولات الرياضية في هذا الصدد أدت إلى تطور ضخم على صعيد نظرية الأرقام، و الجبر و الهندسة الجبرية. و هذا هو السبب الأكبر الذي دعى الرياضيين إلى الاهتمام بفرضية هودج.

Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry*

المصادر:
هنا
هنا