مفارقة باناخ-تارسكي

هل تعتقد أنّه بالإمكان تقطيع كرة مصمتة (مثلاً كرة من الذهب) إلى 5 قطع ومن ثمّ إعادة تجميعها، من دون أي تغيير في شكل القطع (يُسمح فقط تحريك القطع وتدويرها)، لتحصل على كرتين مصمتتين لكلّ منهما نفس حجم وشكل الكرة الأصليّة؟

هذه النظرية معروفة باسم مفارقة باناخ-تارسكي.

علم الرياضيات يقول: نعم. ولكن لماذا لا يمكن تطبيق هذه النظريّة على أرض الواقع؟

إنّ المادّة (أي مادّة) لا يمكن تقسيمها إلى ما لانهاية، ولو كان ذلك ممكناً لاستطعنا على الأرجح تطبيق هذه النظرية. فالأجزاء المتضمنة في هذه العمليّة مسنّنة جدّاً وذات أشكال غريبة، إلى درجة لا يمكن معها تعريف حجم أو قياس هذه الأجزاء.

تُبين هذه المفارقة أنّه مهما حاولنا تعريف كلمة "حجم" لتناسب تعريفاتنا المعتادة للمجموعات البسيطة، سيكون هنالك دائماً بعض المجموعات الـ" مشاكسة " التي ترفض أي تعريف لكلمة حجم (وإلّا سيكون المثال السابق يكافئ جملة 2=1 وهذاغير منطقي).

هل ترى النظريّة غريبة! سنقدّم لك نسخة أخرى من هذه النظريّة:

إنّه بالإمكان أخذ كرة مصمتة بحجم حبّة البازلاء، وتجزيؤها لعدد معيّن من الأجزاء، ومن ثمّ إعادة تجميعها لنحصل على كرة مصمتة بحجم الشمس!

لنحاول تقريب ذلك للواقع : أوّلاً، لو أزلنا القيد بخصوص تغيير الشكل (أي أتحنا تغيير شكل الأجزاء)، ستصبح المفارقة أكثر منطقيّة. على سبيل المثال لو أخذنا المجال [0،1] ومدّدناه لضعف طوله، ومن ثمّ قسمناه بالنصف سنحصل على مجالين كل منهما مشابه للمجال الأصلي.

ثانيا، لو أزلنا القيد المتعلق بعدد الأجزاء المحدود ستصبح المفارقة أيضاً أكثر منطقية، فعدد النقاط في كرة واحدة هو نفسه في كرتين!

إن برهان هذه النظرية يتضمّن دراسة لحركة المجموعات على الكرة، وبالتحديد دراسة المجموعات الجزئيّة للمجموعة التدويريّة المسمّاة "SO(3)" وهي مجموعات جزئية حرّة ذات مولّدين.

يمكن الاعتماد على هذه المجموعات الغريبة لبناء مجموعات " تناقضيّة " تطابق كل نسخة منها نسختين أو أكثر!

لتلخيص ذلك: بعض المجموعات الرياضيّة مشاكسة لا تعترف بما نعترف نحن به من حجوم وقياسات؛ لذلك نجد في عالم الرياضيات المثير ما قد يرفضه الواقع ولكن عالم الخيال دائما موجود.

المصدر:

هنا