تاريخ التكامل: التقنية والنظرية
الرياضيات >>>> ألـبـومـات
Image: https://albertonrecord.co.za/244550/primary-schools-encouraged-to-enter-the-nestle-nespray-mathematics-challenge/
تُعدُّ طريقة الاستنفاذ (method of exhaustion) المقترحة من قبل عالم الفلك اليوناني Eudoxus of Cnidus أول تقنيةٍ لحساب المساحات والحجوم عن طريق تقسيمها إلى عدد غير منتهٍ من الأجزاء (1).
Image: https://www.pinterest.com/pin/355854808056312338/
لاحقًا، نَقَّح أرخميدس تلك الطريقة لتُصبح أداة قويةً لتحديد مساحة سطح المناطق المنحنية وحجمها؛ كمساحة الدائرة ومساحة سطح الكرة وحجمها ومساحة القطع الناقص ومساحة الحلزون وغيرها (2).
Image: https://media.gettyimages.com/illustrations/illustration-of-archimedes-discovering-how-to-measure-volume-and-out-illustration-id106351691?k=6&m=106351691&s=612x612&w=0&h=J0E1mR7RKZ0xcE_nZ3KKlozrDYcX9KU737YESPVWNtc=
حسب الحسن بن الهيثم تقريبًا لحجم السطح المكافئ فعبَّرعنه كتقريب لمجموع قوى من المرتبتين الثانية والرابعة، ثم استخدم صيغة "مجموع قوى من المرتبة الرابعة"؛ إذ اشتقها سابقًا ليحصلَ على تكامل ذلك التقريب (3).
Image: https://i1.wp.com/josealvarezfotografia.com/wp-content/uploads/2019/09/Alhazen-y-la-c%C3%A1mara-oscura-Jos%C3%A9-%C3%81lvarez-Fotograf%C3%ADa.jpg?w=800&ssl=1
مع بداية القرن السابع، استطاع كافالييري (Cavalieri) إيجاد تكامل xn علمًا أن n=9؛ إذ عمَّمها لاحقًا جون واليس (Wallis) من أجل أي قيمة لـ n (4).
Image: https://buzos.com.mx/recursos/noticia/2422/meo.jpg
أول إشارات الاتصال بين التفاضل والتكامل حدثت بواسطة تقديم إسحاق بارو (Barrow) لأول برهان للنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل (3).
Image: https://steemitimages.com/640x0/https://misteridigital.files.wordpress.com/2016/01/royal-society.jpg?w=614
في النصف الأخير من القرن السابع عشر طوَّر اثنان من أعظم عباقرة الرياضيات في كلِّ العصور -هما إسحق نيوتن وغوتفريد ليبنتز- وبصورة مستقلة مفاهيم عامةً كانت مرتبطة بالمشكلتين الأساسيتين في التفاضل والتكامل: القيم القصوى والمساحة (3).
Image: http://userscontent2.emaze.com/images/faeee24c-aa5b-4d18-8f4b-712ebda4c313/635371859234371830_blob
شكَّل حل المشكلات الفيزيائية التي صيغت رياضيًّا بواسطة معادلات تفاضلية دافعًا لتطور تقنيات التكامل في القرن الثامن عشر؛ إذ انتقل أويلر وغيره من حساب التكامل لتراكيب تحليلية بمتغير واحدٍ إلى تراكيب بعدة متغيرات بواسطة (3).
Image: https://www.famousscientists.org/images1/leonhard-euler.jpg
افتقر النهج الذي قدمه نيوتن وليبنتز في حساب التفاضل والتكامل إلى درجة من الدقة؛ ما دفع الأسقف الهولندي جورج بيركلي إلى انتقاد اللامتناهيات في الصغر عن طريق رسالة بعنوان "المحلل" (3).
Image: https://images-na.ssl-images-amazon.com/images/I/51E3oFC6KsL.jpg
وامتد السؤال عن متى تكون القيمة صفرًا ومتى لا تكون إلى عمل فيرما، ودفع عجز نيوتن وليبنتز عن الإجابة كثيرًا من علماء الرياضيات -أبرزهم ماكلورين و دالمبرت ولاغرانج- إلى إيجاد تبرير، لكنَّه غالبًا ما افتقد الدقة (3).
Image: https://kpi.ua/files/styles/story/public/images-story/n5889.jpg?itok=hRECitAK
أوغاستين كوشي أول من أسس حساب التفاضل والتكامل على أساس النهاية كما هي معروفة اليوم، وحثَّت أعمال كوشي وفورييه في السلاسل غير المنتهية لدوال مستمرة برنارد ريمان إلى تطوير مفهوم التكامل بالصورة المعروفة اليوم (3).
Image: http://qcpages.qc.cuny.edu/~zakeri/mat158/CauchyRiemann.jpg
مجموعة الدوال التي تُحسب وفق تكامل ريمان صغيرة كالدوال الظاهرة في تحليل فورييه هو ما دفع هنري ليبيغ لصياغة تعريف جديد للتكامل اعتمادا على قياس المجموعات التي طورها بوريل وكانتور سابقا؛ إذ عُرف بتكامل ليبيغ وهذا ما حل مشكلة التكامل (4).
Image: https://www.spektrum.de/fm/912/thumbnails/RiemannVsLebesgue.png.4363392.png
المصادر:
1.Burton D. The history of mathematics. New York: McGraw-Hill; 2011, p.117
2. Heath T. The works of Archimedes. Mineola, N.Y.: Dover Publications, Inc.; 2018
3. Katz V. A History of mathematics. Boston, Mass.: Pearson Education; 2009, p.305, 516, 523, 536, 543-580, 594, 601, 628, 630-633, 765.
4. Rudin W. Real and complex analysis. New York, NY: McGraw-Hill; 2013, p.5
