المشي العشوائي Random Walk
الرياضيات >>>> الرياضيات
Image: https://unsplash.com/photos/SPcACjrq9ss
سأكون ممتناً للغاية للمساعدة في حل هذه المسألة: يبدأ رجل من نقطة O ويمشي مسافة L ياردة ( وحدة قياس تساوي ثلاث أقدام أو 0.9144 متر) في خط مستقيم، ثم يستدير بأي زاوية مهما كان ويمشي مسافة L ياردة في خط مستقيم آخر. يكرر الرجل العملية n مرة. والمطلوب إيجاد احتمال أن يكون، بعد n مسافة، على بعد يتراوح بين r أو r+δr من نقطة البداية O " انظر الفيديو المرفق. كان الدافع وراء طرح بيرسون لهذه المسألة محاكاة حركة الكائنات الحية ( ليس البشر إنما البعوض). رابط الفيديو:
هنا
في العام نفسه الذي صاغ فيه بيرسون المسألة، صيغت مسألة مماثلة في سياق مختلف من قبل ألبرت أينشتاين في مقالته الشهيرة "حركة العناصر المعلقة في السوائل الساكنة كما ادعي في النظرية الحركية الجزيئية للحرارة" “The motion of elements suspended in static liquids as claimed in the molecular kinetic theory of heat”، والتي استطاع من خلالها أن يشرح أن الكمية الأساسية للحركة غير المنتظمة لحبات غبار الطلع المعلقة في الماء ليست السرعة وإنما متوسط الإزاحة المربعة Mean square displacement (MSD) (2). الجدير بالذكر أن تلك الحركة تدعى بالحركة البروانية نسبةً إلى مكتشفها عالم النبات روبرت براون (Robert Brown)عام 1827، وقد فسرها آنذاك على أنها حركة فوضوية من أصل غير بيولوجي ناتجة عن تصادم مستمر للجسيمات مع جزيئات السائل المحيط، عندما تكون كتلة الجسيمات أكبر من كتلة جزيئات السائل المحيط (3) . يذكر أنه في العام التالي 1906 نشر ماريان سمولوتشوسكي (Marian Smoluchowski) مناقشة مستقلة تستند إلى نهج توافقي “Combinatorinal” توصل من خلالها إلى نتائج متطابقة مع نتائج اينشتاين (4) . على الرغم من ذلك، كانت مسألة المشي العشوائي قد طُرِحت من قبل لويس باتشيلي (Louis Bachelier) في أطروحته التي كرّست لدراسة نظرية المضاربات المالية (Theory of financial speculations) في العام 1900 (5) .
مثال: ( المشي العشوائي على شبكة ذات بعد واحد) (6)
نفترض أن جسيما يتحرك عشوائياً على شبكة ذات بعد واحد ونقطة انطلاقه هي المبدأ 0 كما في الشكل (1). يمكن أن توصف حركته بوصفها قفزات "خطوات" إلى أحد المواقع المجاورة. نعد أنّ خطوات مشي الجسيم العشوائية مستقلة عن بعضها، وأنّ احتمال أن ينفذ خطوة إلى اليمين تساوي p واحتمال أن ينفذ خطوة إلى اليسار تساوي q=1-p. يُحدد موقع الجسيم بعد n خطوة من خلال خطواته إلى اليمين وإلى اليسار. نقدم الآن الأداة التي تسمح لنا بإيجاد موقع الجسيم.
Image: الشكل 1 رسم توضيحي مخططي لمسألة المشي العشوائي على شبكة ذات بعد واحد (5)
نتأمل التعبير الرياضي الجبري . نّ المعامل pالذي يسبق
هو احتمال أن الخطوة الأولى كانت إلى اليمين، و المعامل q الذي يسبق
هو احتمال أن الخطوة الأولى كانت إلى اليسار. إذا أخذنا مربع هذا التعبير
ونشرناه وفق صيغة ثنائي الحد
، نرى أنّ معامل الحد الأول للتعبير
احتمال أن أول خطوتين كانتا لليمين، أي أن الجسيم يصل إلى الموقع j=2 بعد خطوتين. يقابل الحد الثاني احتمال أن أول خطوتين كانتا في اتجاهين متعاكسين و الجسيم يعود إلى موقعه الأصلي j=0 يعطي معامل الحد الأول للتعبير
هو احتمال أن أول خطوتين كانتا لليسار، أي أن الجسيم يصل إلى الموقع j=-2 بعد خطوتين. بتعميم هذه النتائج إلى أي قيمة n، نجد أنّ المعامل الذي يسبق الحد
في منشور الحدودي يعطينا الاحتمال
لوصول الجسيم إلى الموقع j بعد n خطوة. بدلاً من نشر الحدودي ( كثير الحدود)، يمكن أن نستخرج
من التعبير المقابل باستخدام تحويل فورييه:
يقوم تحويل فورييه في الواقع "بتصفية" المعامل الذي يتوافق مع الموقع j. لتوضيح ذلك يكفي أن نلاحظ أنّ
لنفترض الآن أن احتمال أن يخطو للجسيم لليمين هو فإن احتمال أن يخطو لليسار هو
. و بالتالي يصبح التعبير
، اذن:
العلاقة الناتجة تمثل حل لمسألة بيرسون في بعد واحد، انظر الشكل (2) و الذي يمثل احتمال وصول الجسيم إلى الموقع j بعد عشرين خطوة.
Image: الشكل 2 رسم بياني لاحتمال وصول الجسيم إلى الموقع j بعد 20 خطوة (6)
في الوقت الحاضر تقدم نظرية المشي العشوائي نهجاً أثبت أنه مفيد في الفيزياء، والكيمياء ( الانتشار في أوساط مختلفة)، والاقتصاد، وعلم الأحياء ( من حركة الكائنات الحية إلى حركة الجزيئات البيولوجية كالبروتينات في البيئة المزدحمة داخل الخلايا) والعديد من الاختصاصات الأخرى.
المصادر:
2. Einstein, A., 1905. Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen. Annalen der Physik, 322(8), pp.549-560
3. Mehrer, H., 2007. Diffusion in Solids. Dordrecht: Springer, chapter 1.
4. von Smoluchowski, M., 1906. Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen. Annalen der Physik, 326(14), pp.756-780.
5. Bachelier, L., Davis, M. and Etheridge, A., 2006. Theory of speculation. Princeton, N.J.: Princeton University Press
6. Klafter, J., Sokolov, M. I., 2016. First steps in random walks. Oxford University Press.
