في عالم اللانهاية الجزء قد يساوي الكل

تعلَّمنا منذ كنَّا صغارًا كيف نعدُّ الأشياء، وكي نقارنَ الأعداد  والمجموعات قارِن إذًا مَنْ أكبر، عدد الأعداد الزوجية أم عدد الأعداد الفردية؟ العددان لانهاية، ولكن هل كل اللانهايات واحدة؟ حدسيًّا ستُجيب أنهما متساويتان، يبدو أنَّ المقارنة سهلة بسيطة، أليس كذلك؟ 

تمهل قليلًا، من أكبر إذًا مجموعة الأعداد الطبيعية كلها أم مجموعة الأعداد الزوجية فقط؟ يبدو أن مجموعة الأعداد كلها أكبر، فهي تتضمن الأعداد الزوجية ومعها الأعداد الفردية كذلك. ليس تحديدًا ما ذكرناه سالفًا هو لانهايات، وعند التعامل مع اللانهايات عليك أن تتوقعَ أشياءً عكس حدسك (1). 

في الواقع حجم مجموعة الأعداد الطبيعية = حجم مجموعة الأعداد الزوجية (1، 2).

وحجم مجموعة الأعداد الطبيعية = حجم مجموعة الأعداد الفردية (1, 2).

ماذا عن حجم مجموعة الأعداد الصحيحة ومجموعة الأعداد الطبيعية؟ حجم مجموعة الأعداد الصحيحة يبدو ضعفَ حجم مجموعة الأعداد الطبيعية الموجبة، فهي تحتويها إضافة إلى الأعداد السالبة، صحيح؟

في عالم اللانهاية حجم مجموعة الأعداد الطبيعية = حجم مجموعة الأعداد الصحيحة.

وحجم مجموعة الأعداد الطبيعية = حجم مجموعة الأعداد النسبية (2). 

وحجم مجموعة الأعداد الحقيقية الواقعة بين 0 و 1 فقط أكبر من حجم مجموعة الأعداد الطبيعية  (2).

وحجم مجموعة الأعداد غير النسبية أكبر من حجم مجموعة الأعداد النسبية (2)

علينا أن نقارن كأطفال لم يتعلموا العدَّ بعد. بالنسبة للطفل ليُقارن بين ما لديه من بسكويت وبين عدد أصدقائه، لن يعرفَ هل لديه ما يكفي إلا إذا زاوج بين كلِّ حبة بسكويت وبين أصدقائه كلهم واحدًا واحدًا، فإن بقي لديه بسكويت بعد أن أخذ الجميع سيعلم أن عدد البسكويتات أكبر من عدد أصدقائه، وإذا بقي أحد لم يحصل على البسكويت سيعلم أن عدد أصدقائه أكبر.

بالطريقة نفسها نقارن حجم المجموعات اللانهائية. رياضيًّا المزاوجة بين عناصر مجموعتين تعني وجود اقتران واحد لواحد وشامل بين المجموعتين (1, 2)، فمثلًا المزاوجة بين الأعداد الطبيعية والنسبية كالآتي:


Image: (1,2)

العد نفسه هو عملية مزاوجة بين الأعداد الطبيعية والأشياء التي نعدها (2).

في النهاية نقول: إنَّ اللانهاية ليست عددًا طبيعيًّا ولا حقيقيًّا، هي نوع وعالَمٌ آخر يُسمى الأعداد الكاردينالية "cardinal numbers" وأول من قارن بين اللانهايات هو جورج كانتور، وكما قال ديفيد هلبرت: "لا أحد يُمكنه طردنا من الجنة التي أدخلنا إليها كانتور" (3).

المصادر: