مفارقة راسل
الرياضيات >>>> الرياضيات
Image: SYR_RES
تابعنا في مقال سابق مغالطة الحلَّاق.. (هنا)
لنتابع الآن الصيغة الرياضية لها التي تتمثل في مفارقة راسل.
مفارقة راسل (بيرتراند راسل) هي من أشهر المفارقات في علم الرياضيات التي كانت سببًا في إعادة نظر الرياضيين إلى نظرية المجموعات البسيطة (المجموعات التي تمتلك شرطًا ينطبق على جميع عناصرها).
لنفكر بما يأتي:
لدينا مجموعة كل عناصرها أقلام، هل المجموعة في حد ذاتها تُعدُّ قلمًا واحدًا؟
بالطبع لا، وأمثلة متشابهة أخرى جعلت راسل يهتم بالمجموعات التي لا تضم نفسها عنصرًا في المجموعة، فكان نص المفارقة كما يأتي:
لتكن لدينا المجموعة x تضم عددًا من المجموعات التي تحقق الشرط الآتي:
"كل مجموعة لا تضم نفسها عنصرًا في المجموعة"
لا مشكلة في تطبيق هذا الشرط على المجموعات التي ضِمن x ولكن إذا أردنا تطبيق هذا الشرط على x نفسها سنواجه ما يأتي:
فإذا افترضنا أن x ∈ x فهذا سيناقض الشرط "كل مجموعة لا تضم نفسها عنصرًا"
ولو افترضنا أن x ∉ x؛ فهذا يعني أن المجموعة x تحقق الشرط "كل مجموعة لا تضم نفسها عنصرًا "
ولذا؛ فإن x ∈ x.
وهكذا عدنا إلى الحالة الأولى وهي مناقِضة للشرط.
هذا يقودنا إلى إدراك خلل ما في نظرية المجموعات المبسطة؛ فها نحن قد وجدنا عنصرًا يحقق شرط المجموعة ولا يحققها في الوقت نفسه!
ففي مثال الحلاق كان أهل القرية يخضعون لشروط واضحة: إذا كنت تعرف أن تحلق إذن احلق لنفسك، وإلا فالحلَّاق سيحلِق لك.
ولكن ثمة عنصر وهو الحلاق نفسه؛ إن عاملناه كسائر أهل القرية وهو من أفرادها الذين يعرفون الحلاقة فسيحلِق لنفسه؛ لكنه الحلاق! ولا يحق لمن يعرف الحلاقة أن يحلِق عند الحلاق!
ولا يحق له أن يحلق لنفسه كفرد لا يعرف الحلاقة لأنَّه يعرفها في الواقع!
يمثل الحلاق في مفارقة راسل المجموعة برمتها x التي في انتمائها ولا انتمائها إلى نفسها تخلق تناقضًا، وتقود الرياضيين إلى مشكلة حقيقية.
لاحقًا؛ راسل نفسه وضع نظرية مهَّدت للعلماء حل هذه المفارقة وهي"نظرية الفئات"؛ فعندما نتكلم عن مجموعة من الأقلام -مجموعة تُحقق خواصًّا معينة - فنحن نخص بشروطنا عددًا من العناصر؛ في حين إذا تكلمنا عن المجموعة برمتها؛ فإنَّنا في الواقع نتحدث عن"فئة" مختلفة عن فئة الأقلام. إنها تندرج ضِمن فئة (مجموعات الأقلام) وبذلك نتجنب من البداية الخوض في احتمالية انتماء المجموعة برمتها لنفسها أم لا؛ لأننا بذلك نقارن فئتين مختلفتين من العناصر.
ثمة طريقة أخرى لتجنب هذا الجدل؛
إن مجموعة كل المجموعات (المجموعة x برمتها) هي التي تسبب لنا مشكلة؛ لذا لنهرب منها من البداية!
كيف ذلك؟
لنبدأ بعناصر المجموعة عنصرًا عنصرًا، العنصر الأول والثاني يشكلان مجموعة، والأول والثاني والثالث هم مجموعة، وهكذا؛ وبذلك نهرب من افتراض وجود مجموعة لكل المجموعات.
هل ورد في بال أحدكم فكرة أخرى لتجنب الوقوع في هذه المغالطة؟
المصدر:
هنا
