قفزة جديدة يحرزها علماء الرياضيات في مجال الأعداد الأولية

لطالما شغلت قضيّةُ الأعدادِ الأوليّةِ الرّياضيّين، فكلُّ فترةٍ يكتشفُ العلماءُ عددًا أوليًّا أكبرَ من سابقه. فما هي يا تُرى آخرُ التّطوّراتِ في هذا المجالِ؟
لنتابع معًا في المقالِ التّالي:

في شهرِ أيّار من العام 2013، استطاعَ الرّياضيُّ "Yitang Zhang" إثباتَ أنَّ الأعدادِ الأوليّةِ من المستحيلِ أن تتوقَّفَ عن الظّهورِ، لكنّها ستصبحُ نادرةً أكثرَ كلَّما تقدَّمنا في اكتشافِ هذه الأعداد، هي لن تنتهي حتّى لو وصلَ الفرقُ بينَ عددَينِ أوّليّينِ إلى 70 مليون عددًا.

وعلى مدارِ 76 عامً ظلَّ العلماءُ يحاولونَ الإجابةَ عن السّؤالِ التّالي: إلى أيِّ مدىً يُمكن أن تتباعدَ الأعدادُ الأوليّةُ؟

متوسّطُ التّباعدِ بينَ الأعدادِ الأوليّةِ تقريبًا لا نهائيّ، ولكن ممّا بينَ أيدينا الآن من الأعدادِ الأوليّةِ المُكتَشفةِ نجدُ أنَّ أكبرَ فجوةٍ بينَ عددَينِ أوّليّينِ أكبرُ من متوسّطِ التّباعدِ الّذي اكتُشِفَ، ولمّ يتمكّن أحدٌ من تحديدِ مدى اتّساعِ الفجوةِ بين الأعدادِ الأوّليّةِ.



في شهرِ آب من العام 2014، نشرَ فريقان رياضيّان برهانًا لحدسيّةِ " Paul Erdős" الّتي تتكلّمُ عن مدى تباعدِ الأعدادِ الأوّليّةِ، والّتي اعتمدت على ما وضعه الرّياضيُّ الاسكتلنديِّ "Robert Alexander Rankin" من خلالِ العبارة:

X (أكبرُ مسافةٍ بينَ عددَينِ أوّليّينِ) ستكونُ على الأقلِّ :



فعدّل الرّياضيُّ Erdős العبارةَ الرّياضيّةَ السّابقةَ بأن استبدل الـ 1/3 في صيغةِ العالِم Rankin أعلاه بأيّ عددٍ كبيرٍ، لتُصبحَ المسافةُ بين عدَدَينِ أوّليّينِ مُعرّفةً بقييمٍ أكبرَ، ولكنها تبقى قيمًا أقلَّ ممّا افترضه السّويديُّ "Harald Cramér -1936" -وما ظنّه من بعدهِ العديدُ من الرّياضيّينَ - بأنَّ المسافةَ بين الأعدادِ الأوّليّةِ ستكونُ مُحقِّقةً لتصاعدِ قيم log X)^2 ) .

إنَّ البرهانَين الجديدَين بخصوص إثبات حدسيّةِ Erdős اعتمدا طريقةً بسيطةً لمعرفةِ مدى تباعدِ الأعدادِ الأوّليّةِ، فهذه المسافةُ هي عبارةٌ عن الأعدادِ غيرِ الأوّليّةِ والّتي من الممكنِ توليدها بطرقٍ معيّنةٍ. أحدُ البُرهانين ولّدَ أعدادًا غيرَ أوّليّةٍ كما يلي:

ليكون لدينا 100 عددٍ غيرُ أوّليٍّ نضعها بالشّكلِ التّالي :

101! + 2 ، 101! + 3، 101! + 4،……، 101! + 101.

حيث 101! هي الجداء: (1*2*3*...*101)

فيكون لدينا 101! + 2 قابلًا للقسمةِ على 2 ، وَ 101! + 3 قابلًا للقسمةِ على 3 وَ ...

هذه الأعدادُ غيرِ الأوّليّةِ الّتي حصلنا عليها هي أعدادٌ كبيرةٌ جدًّا إذ 101! يتكوّنُ من 160 خانة. كان لا بدَّ للرّياضيّين من اعتمادِ طريقةٍ لتوليدها واعتمادها في جداولَ ليكونَ من الممكنِ تكبيرها بإضافةِ أعدادٍ صغيرةٍ 2، 3، … ، 101 فيحصلوا من جديدٍ على أعدادٍ غيرٍ أوّليّةٍ يستدلّوا من خلالها على المسافةِ الكامنةِ بينَ عددَينِ أوّليّين.

يطول شرح خوارزميّةِ عملهم و لكن كانت هذه الفكرة العامة للبُرهانين اللّذَين وُضِعا بالاستفادةِ من المقالةِ الخاصّةِ بالرّياضيّMaynard والّتي نُشرَت في العام 2013 بهذا الصدد.

كما اقترحَ الرّياضيُّ Tao جائزةً -ولو رمزيّةً- لمن يحرز تقدّمًا في مجالِ الأعداد الأوّليّةِ.

و يراودنا السّؤال: لم كلُّ هذه الجهودِ و الأبحاثِ في سبيلِ معرفةِ مدى تباعدِ الأعدادِ الأوّليّة؟

نتائج هذه الأبحاث لها أثرٌ كبيرٌ في خوارزميّاتِ التّشفيرِ، لذا لا بدَّ من تطويرِ هذه الدّراساتِ، كما أنّهُ لا مهربَ من التّبحُّرِ في العلوم فلا ندري ما سنحتاجُه منها لاحقًا وكيف ستُطبّق.

المصدر: هنا