نقدّمُ لكم اليومَ حلولَ ألغازِ هذا الأسبوع، متمنّينَ لكم الفائدة والتّسلية.
اللغز الأول: نموذج برج إيفل
ارتفاعُ برج إيفل في باريس 300م تقريبًا، وقد بُنيَ باستخدامِ حوالي 8000000 كغ من الحديد.
لو أردنا صنع نموذجٍ للبرجِ الشّهير؛ بحيث يبلغُ وزنهُ 1 كغ فقط، فكم سيكونُ ارتفاعُ النموذج؟
الحل:


Image: www.toureiffel.paris

بدايةً يبلغ ارتفاع برج إيفل الحقيقي 324م، ووزنه 7300طن والأرقام المذكورة باللغز تقريبية وقد نوهنا لذلك؛ بهدف تبسيط العمليات الحسابية، علماً بأن المعطيات المذكورة كانت كافية لإيجاد الحل كما سيتبيّن لكم خلال هذا المقال.
إن كل مجسم فراغي بغض النظر عن شكله أو مساحة قاعدته؛ يمكننا حساب حجمه بمعرفة أبعاده الثلاثة (الطول والعرض والارتفاع) من العلاقة: الحجم= الطول × العرض× الارتفاع × معامل ثابت يتعلق بالشكل. وتبلغ قيمة المعامل الثابت 1 بالنسبة للأسطوانة ومتوازي المستطيلات و1/3 للمخروط والهرم. وبما أننا نبحث عن مجسم أصغر فلابد أن نصغّر كافة الأبعاد، فإذا كانَ النموذجُ أخفَّ من الأصلِ ب 8000000 مرة؛ وتمّت صناعةُ الاثنين من معدنٍ واحدٍ فإنّ حجمَ النموذجِ الجديدِ يجبُ أن يكونَ أقلَّ من حجمِ الأصليّ ب 8000000 مرة أي أن نسبة حجم الجسم الاول لحجم الثاني تعادل 8000000، لأن الحجم يتناسب طردياً مع الكتلة، وبالتالي فإن تغير الكتلة يعني تغير الحجم بذات المقدار. ولمعرفة معامل تغير الحجم نستخدم العلاقة التالية: الكتلة الأولية × معامل تغير الحجم = الكتلة الجديدة، فيكون هذا المعامل 1 إلى 8000000.
ولحساب تغير كل بُعد على حدة؛ نأخذ الجذر التكعيبي والناتج 1 إلى 200، وهذا معامل تغير كل من الطول والعرض والارتفاع حسب علاقة الحجم التي ذكرناها، مع الانتباه إلى أن معامل الشكل أياً كانت قيمته لن يتغير (لأننا لا نريد تغيير الشكل بالتأكيد).
بعبارة أخرى، إن أحجامَ الأشكالِ المتشابهةِ متناسبةٌ مع مكعّبِ ارتفاعاتها (أي أن نسبة الحجوم = مكعب نسبة الارتفاعات)؛ فالنموذج يجبُ أن يكونَ أقصرَ من الأصليّ ب 200 مرة لأن: 200*200*200=80000000.
فإذا كانَ ارتفاعُ البرجِ الحقيقيّ يساوي 300م؛ فلابدّ أن يساوي ارتفاعُ النموذجِ: 300÷200=1.5م.

اللغز الثاني: النجمة السحرية
للنجمةِ العَدديّة ذاتِ الستّةِ رؤوسٍ، المُبيّنةُ في الشّكلِ التالي خاصيّةٌ سحريّةٌ؛ حيثُ أنّ جميعَ الصّفوفِ السّتةِ للأعدادِ الموجودة فيها لها نفسُ المجموع:
ولكنّ مجموعَ الأعدادِ الموضوعةِ على رؤوسِ النّجمةِ مختلفٌ: 4+11+9+3+2+1=30
فهل يمكنُ تحسينُ النّجمةِ بحيث تكونُ الأعدادُ الموجودةُ داخلَ الدوائرِ مرتبّةً بشكلٍ يجعلُ الصفوفَ الستةَ ذاتَ مجموعٍ واحدٍ، وكذلكَ يصبحُ مجموعُ الأعدادِ على رؤوسِ المثلّثِ يساوي نفسَ هذا المجموع؟
الحل:
في "علم الهندسة"، النجمة السداسية هي مضلع نجمي له ستة رؤوس، ويتشكل من اجتماع مثلثين متساويي الأضلاع، وهذا كل ما يجب أن تفكر فيه لحل هذا اللغز .
لتسهيلِ إيجادِ الوضعِ المناسبِ للأعدادِ سنَتّبعُ الخطوات التالية:
إنّ مجموعَ الأعدادِ على أطرافِ النجمةِ الجديدةِ يجبُ أن يساويَ 26، ومجموعُ كلِّ أعدادِ النجمةِ 78. مما يعني أن مجموعَ الأعدادِ لسُداسيّ الأضلاعِ الدّاخليّ يجبُ أن يساويَ 78-26=52


Image: Syrian Researchers
وإذا أخذنا أحدَ المثلثاتِ الكبيرةِ، حيثُ أنّ مجموعَ الأرقامِ في كل ضلعٍ من أضلاعهِ يساوي 26، وجمعنا أعدادَ كلّ الأضلاعِ الثلاثةِ سنحصلُ على 26×3=78، علماً بأنّ كُلّاً من الأعدادِ التي في الزوايا يتكرّرُ مرّتين، وبما أنّ مجموعَ أعدادِ الأزواجِ الثلاثةِ الداخليةِ (أي مجموع الأعداد لسداسي الأضلاع الداخلي) يجبُ أن يساوي 52، فإن المجموعَ المضاعفَ للأعدادِ على رؤوسِ كلّ مثلثٍ يساوي 78-52=26، أما المجموع لمرةٍ واحدةٍ =13.


Image: Syrian Researchers

الآن ضاقَ مجالُ البحث كثيراً؛ فنحنُ نعرفُ مثلاً أن لا 12 ولا 11 يمكنُ أن تحتلّ أماكنَ في رؤوسِ النجمةِ، وهذا يعني أنه يمكنُ بدءُ المحاولةِ من الرقم 10 بحيث يتحدد لمرةٍ واحدةٍ العددانِ اللذانِ يجبُ أن يحتلّا رأسَيْ المُثلثين الآخرَين.
وبهذه الطريقةِ يمكن لنا في النهايةِ إيجادُ النتيجةِ المطلوبة والمُبيّنة في الشكل التالي:


Image: Syrian Researchers

اللغز الثالث: سلسلة من 28 قطعة دومينو
تتكوّنُ لعبةُ الدومينو من 28 قطعةً مستطيلةَ الشكلِ، كلٌّ منها مقسمةٌ إلى جزئينِ عليهِما نقاطٌ تتراوحُ بين 0 إلى 6. ويُوزّعُ على كلّ لاعبٍ من اللاعبين 7 قطعٍ والباقي يُوضَعُ على الأرض. واللاعبُ الفائزُ هو من يتخلّصُ من كلّ قِطَعهِ أولاً. وكي يتمكّنَ اللاعبُ من وضعِ القطعةِ على الأرض؛ يجبُ أن تحتوي القطعةُ في أحدِ طَرفيْها على رقمٍ من الموجودِ في واحدةٍ من نهاياتِ القطعِ الموجودةِ على الأرضِ وتوضعُ بجانبها.
وسؤالنا اليوم: لماذا يمكنُ وضعُ قطعِ الدومينو الـ 28، مع مراعاةِ قواعدِ اللّعبةِ، في سلسلةٍ مُستمرةٍ واحدةٍ؟
الحل:
لتسهيلِ المسألةِ سنضعُ جانباً -بشكلٍ مؤقتٍ- كلّ القطعِ الثّنائيّةِ السبع:
(0،0) – (1،1) – (2،2) – (3،3) – (4،4) – (5،5) – (6،6)
فتبقى بحوزتنا 21 قطعةً يتكررُ عليها كلُّ عددٍ (من صفر إلى 6) بعددٍ زوجيٍّ من المرات وهو 6 مرات. مثلًا الـ 4 نُقط توجدُ على القِطعِ الستِّ الآتية:
(4،0) -(4،1)-(4،2) -(4،3) -(4،5) -(4،6)
وبالتالي نضعُ كلَّ قطعةٍ تحملُ عدداً معيّناً من النّقاطِ إلى جانبِ قطعةٍ أخرى تحملُ نفس العددِ إلى أن ننتهي من المجموعةِ كلِّها.
وهكذا تكون القطعُ الــ 21 قد وُضِعَت في سلسلةٍ مُستمرةٍ، وعندئذٍ نُدخلُ القطعَ السبعَ الثنائيّةَ التي كنا قد وضعناها جانباً في البداية؛ لتصبحَ جميعُ القطعِ مُرتّبةً في سلسلةٍ واحدةٍ مع مراعاةِ قواعد اللّعبة.
من السهل أن نبين أن السلسلة المكونة من 28 قطعة دومينو، يجب أن تنتهي بنفس عدد النقط التي بدأت بها. لو لم يكن ذلك لتكرر عدد النقط الواقعة على نهايات السلسلة بعدد فردي من المرات (لكن داخل السلسلة تكون أعداد النقط واقعة بشكل زوجي) ولكننا نعلم أنه في المجموعة الكاملة لقطع الدومينو يتكرر كل عدد من النقط 8 مرات، أي عدد زوجي من المرات. وبالتالي فإن الافتراض الذي أخذناه والذي ينص على أن عدد النقط على نهايات السلسلة غير متساوٍ هو افتراضٌ غير صحيح: يجب أن يكون عدد النقط واحداً(يدعى مثل هذا الأسلوب في التفكير كما هو الحال في الرياضيات "الإثبات من العكس").
وبالمناسبة ستنتج من خاصية السلسلة التي أثبتناها للتو نتيجة طريفة؛ تكمن في إمكانية إغلاق السلسلة المكونة من 28 قطعة بنهايتيها والحصول على حلقة. إذن فإن المجموعة الكاملة لقطع الدومينو يمكن أن تكون بالتالي مرتبة مع قواعد اللعبة ليس فقط في سلسلة ذات نهايتين حرتين ولكن أيضاً في حلقة مقفلة.
عدد الطرق المختلفة لتكوين السلسلة (أو الحلقة) المؤلفة من 28 قطعة دومينو كبير جداً: أكثر من 7 تريليون والعدد الدقيق هو: 7959229931520

المصادر:
الرياضيات المسلية