في كل لحظة زمنية محددة، هناك نقطتان على خط استواء الكرة الأرضية لهما درجة الحرارة نفسها.
كيف لنا أن نعرف هذا؟ حسنًا، إليك الدليل؛ فلننظر إلى المستوى الاستوائي الذي يشق طريقه عبر الأرض عند خط الاستواء؛ إذ إنَّ خط الاستواء هو دائرة تقع في هذا المستوى، ويمكننا اختيار نظام إحداثيات على المستوى بحيث تقع النقطة (0،0) في مركز دائرة خط الاستواء، ويوجد بالنسبة إلى كل نقطة x على الدائرة الاستوائية نقطة x- مقابلة قطريًّا للنقطة x.


Image: https://plus.maths.org/content/sites/plus.maths.org/files/articles/2019/temperatures/equator.png
النقاط x و  x-

الآن؛ كل نقطة x  على خط الاستواء تأتي مع درجة حرارة (t(x. يمكننا أن نفترض أن الدالة t، التي تخصص درجة حرارة لكل نقطة، هي دالة مستمرة؛ ذلك لأن درجة الحرارة لا تقفز أو تنخفض فجأة في أثناء تحركك على سطح الأرض.
فكِّر الآن بالدالة:
f(x) = t(x) - t(-x)
وهي دالة مستمرة أيضًا.
إذا كانت هذه الدالة مساوية للصفر من أجل نقطة ما x، يُطلب عندها لأنه إذا كان:
f(x) = t(x) - t(-x) = 0
فإن:
(t(x) = t(-x
أي إن درجة الحرارة عند النقطة x هي نفسها عند النقطة x-.
إذا كانت (f(x لا تساوي الصفر في أي مكان؛ فدعونا نفترض (دون فقدان العمومية) أنه توجد نقطة x يكون عندها f(x) > 0، وعندها:
f(x) = t(x) - t(-x) > 0

وهذا يعطي أنَّ:
f(-x) = t(-x) - t(x) = -f(x) < 0

هناك نتيجة تسمى مبرهنة القيمة الوسطية، وتقول إنه إذا كانت دالة مستمرة أكبر من الـ 0 عند نقطة ما ضمن المجال الخاص بها وأقل من الـ 0 في نقطة أخرى؛ فيجب أن تساوي الـ 0 عند نقطة ما بين الاثنتين.


Image: https://plus.maths.org/content/sites/plus.maths.org/files/articles/2019/temperatures/ivt.png
شكل توضيحي لمبرهنة القيمة الوسطية. إذا كان t(x) > 0 و t(y) < 0 و t مستمرة، توجد عندها نقطة z بين x و y بحيث t(z) = 0.

هكذا؛ وكون f(x) > 0 و  f(-x) < 0؛ فإنه توجد نقطة y على الدائرة بحيث: f(y) = 0. ومن ثم:
f(y) = t(y) - t(-y) = 0

ما يعني أنَّ:
(t(y) = t(-y

لذا؛ فإن درجة الحرارة عند النقطة y هي نفسها عند النقطة y-.
والنتيجة تتحقق فعليًّا عند أيّة دائرة على سطح الأرض، وليس عند خط الاستواء فحسب. وفي الواقع؛ فإن النتيجة هي حالة البعد الواحد من مبرهنة  بورساك-أولام Borsuk-Ulam، التي تقول إن أيّة دالة مستمرة من الدائرة إلى الأعداد الحقيقية توجد عندها نقطة x بحيث (t(x) = t(-x.

وأمَّا النسخة العامة من مبرهنة بورساك-أولام فتقول إنه بالنسبة إلى أيّة دالة مستمرة t من كرة ذات بعد نوني (n) * إلى التعديد من الرتبة n للأعداد الحقيقية (n-tuples) **، توجد نقطة ما x بحيث (t (x) = t (-x.

* إن الكرة ذات البعد النوني (n) ومركزه O ونصف قطرها R هي المحل الهندسي للنقاط في الفضاء ذي البعد n + 1 والواقعة على مسافة قدرها R من O؛ إذ إن n عدد طبيعي و R عدد حقيقي موجب؛ بمعنى آخر فإن الكرة ذات البعد النوني (n) هي تعميم لسطح الكرة العادي.

** العديد من الرتبة n (أو n-tuples) الذي يدعى أحيانًا وببساطة «تعديدًا» عندنا يُعرف الرقم ضمنيًّا، هي مرادف آخر للقائمة list؛ أي مجموعة مرتبة من العناصر، يمكن تفسيره على أنه متجه، أو بصورة أكثر تحديدًا متجه من الرتبة n (أو n-vector).

القائمة list عبارة عن بنية بيانات تتكون من مجموعة مرتبة من العناصر، قد يكون كل منها رقمًا أو قائمة أخرى، إلخ. وعادة ما يرمز للقائمة  (a_1, a_2,..., a_n) أو {a_1, a_2,..., a_n}.

المصدر:
هنا
هنا
هنا
هنا