هل تعجز الرياضيات عن الإجابة؟
الرياضيات >>>> الرياضيات
Image: SYR-RES
يعتقد كثيرون أنَّ العلوم الرياضية تستطيع الإجابة عن كل وأي سؤال يخطر ببال البشر, ولكن جاء عديدٌ من العلماء ووضعوا الاعتقاد السابق موضوع البحث والدراسة وجاءت الإجابة كالصاعقة؛ فالرياضيات لا تستطيع الإجابة عن كل سؤال، إذ اكتشف العلماء أن العلوم الرياضية ككل الأشياء الأخرى؛ محدودة.. ولكن ظهر سؤال منطقيٌّ آخر: ما حدود العلوم الرياضية؟
فى هذا المقال سوف نستعرض كيف ساهمت (جوليا روبنسون Julia Robinson) فى تعريف حدود العلوم الرياضية.
لمحة عن حياة (جوليا):
وُلدت (جوليا) فى الثامن من شهر كانون الثاني (ديسمبر) من العام 1919م؛ إذ تعلمت الصبر بسبب تربيتها المنعزلة، الأمر الذي ساهم في إنجازاتها كعالمة فى العلوم الرياضية. وعلى الرغم من هذه الإنجازات غير المسبوقة؛ لم تعد (جوليا) نفسها عبقرية، وفي سن التاسعة، أُصيبت بالحمى القرمزية ولسبب ما تفاقم الأمر وأدى لإصابتها بالحمى الروماتيزمية، وبسبب ذلك تأخرت لعامَين دراسيين عن أقرانها، إضافةً إلى ذلك؛ سببت الحمى الروماتيزمية مضاعفات تمثلت فى عدم قدرتها على الإنجاب. وعلى صعيدٍ شخصي، كانت (جوليا) تكره أضواء الشهرة وتفضل الابتعاد عنها، ولكن أختها الكبرى (كونستانس) كتبت السيرة الذاتية لـ (جوليا) التي كُتب هذا المقال اعتمادًا عليها (1).
كانت (جوليا) هي أوَّل امرأةٍ تُنتخب من قِبَل أكاديمية العلوم الوطنية (National Academy of Science) – قسم الرياضيات (2). وكانت أول امرأة تتقلد منصب رئيس الجمعية الأمريكية للرياضيات في العامين 1983م – 1984م (3)، وتحصل على منحة (ماك آرثر MacArthur) عام 1983م (4).
معضلة (هيلبرت) العاشرة:
في أثناء إلقاء (ديفيد هيلبرت) لمحاضرة في عام 1900م في باريس؛ عرض 23 تحدٍّ لمجتمع الرياضيات وكان ذلك في أثناء اجتماع الكونجرس الدولي للرياضياتيين (International Congress of Mathematicians). كانت هذه المعضلات هى ما وجَّه البحث الرياضي فى القرن العشرين؛ إذ إنها ضمَّت معضلات فى مختلف فروع العلوم الرياضية (5)، ويستطيع القارئ الرجوع إلى المرجع (6) لمعرفة كل المعضلات الـ 23.
وتتمحور المعضلة العاشرة حول إيجاد صيغة شاملة تصلح لإيجاد جذور المعادلات المسماة المعادلات الديوفنتية (Diophantine Equations) مهما كان عدد الحدود وباستخدام أعداد صحيحة (موجبة/سالبة/صفر)؛ المعادلات الديوفنتية هي معادلات كثيرة الحدود ومعاملاتها عبارة عن أعداد صحيحة، وتشمل أي معادلة لها أسس أكبر من واحد كالمعادلات التربيعية والتكعيبية وهكذا. صيغت هذه المعادلات من قبل عالم الرياضيات اليوناني ديوفنتيوس الإسكندري (Diophantus of Alexandria) نسبة إلى الإسكندرية بمصر (7).
وتُعدُّ المعضلة العاشرة لـ (هلبرت) سؤالًا عميقًا عن حدود المقدرة البشرية لحل المعادلات الرياضية، وكدليل على صعوبة إيجاد حلول للمعادلات الديوفنتية فلنأخذ مثالًا: x3+y3+z3=42 ، هل يمكن إيجاد جذور المعادلة بحيث يكون كل جذر منها عدد صحيح ؟
لقد تطلب إيجاد الحل وتحقيق الشرط السابق استخدام سوبر كومبيوتر من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا وكان الحل يساوي:
و لتبيان مدى صعوبة الأمر، فالمعادلة السابقة هي من مجموعة المعادلات ذات الصيغة وهى نوع واحدٌ فقط من المعادلات الديوفنتية، وقد رأيت عزيزى القارئ أن العلماء استطاعوا حل المعادلة لقيمة محددة لـ
، ولكن ماذا عن باقى قيم
والمعاملات الأخرى، وهذا دليل على أن هذا النوع من المعادلات ليس بسيطًا كما يُظن (5).
وكتلخيص لما سبق، كان سؤال (هيلبرت): "هل توجد خوارزمية تُمكننا من الإجابة بنعم/لا، إذا كانت معادلة ديوفنتية معينة لها حل بالشروط السابقة؟
التعاون لاكتشاف حل المعضلة العاشرة/ إسهام (جوليا) المؤدي لاكتشاف الحل للمعضلة العاشرة:
عندما حان موعد إطفاء شمع كعكة عيد ميلادها، تمنت (جوليا) أمنية واحدة وحيدة، ألا وهي: أن يأتيَ اليوم الذي تجد فيه حل المعضلة العاشرة لـ(هيلبرت)، ولأجل هذه الأمنية كانت تعمل بصورة حثيثة على حل هذه المعضلة وتقول لأختها دائمًا:
"أخاف أن يدركني الموت قبل أن أصلَ إلى الإجابة بنفسي" (8).
وقد تحققت أمنية (جوليا) فى بدايات عام 1970م، وكان ذلك بعد عيد ميلادها الخمسين. وفي هذا العام نفسه أعلن العالم السوفيتي (يوري ماتياسيفيتش Yuri Matiyasevich) أنه قد توصل إلى حل المعضلة العاشرة، وكانت هذه إحدى المعضلات الثلاثة والعشرين التي صيغت عام 1900م على يد عالم الرياضيات الألماني ذائع الصيت (ديفيد هيلبرت David Hilbert) (8).
عندما أعلن (يوري) عن توصله للحل كان يبلغ من العمر 22 عامًا فقط، ومن الطريف أنه قد ولد فى العام نفسه الذى بدأت فيه (جوليا) التفكير فى حل المعضلة العاشرة، وكان (يوري) قد توصل إلى الحل في أثناء قيامه بأبحاث الدكتوراه الخاصة به في الرياضيات. وكتبت له (جوليا): "عندما رأيت حلَّك تذكرت أنني فرضت حلًا مبدئيًّا عندما كنتَ طفلًا صغيرًا، ويبدو أنه كان ينبغي عليَّ الانتظار حتى تصل أنت لسن الشباب، لأصل أنا للحل" (8).
الحل الذي ترمي إليه (جوليا) يعد واحدًا من إسهاماتها لحل معضلة (هيلبرت) العاشرة. صحيح أن (يوري) وضع القطعة الأخيرة فى الأحجية للوصول إلى الحل النهائي، ولكن إسهامات (جوليا) واثنين آخرين من علماء الرياضيات الأمريكيين ساهمت فى بلورة حل متكامل، وقد اعترف (يوري) فى خريف 1970م بإسهامات (جوليا) وقال: "أنه لا يمكن فصل اسم (جوليا روبينسون) عن حل المعضلة العاشرة لـ (هيلبرت)" (9).
عدم المقدرة على المعرفة:
لقد تمَّت بلورة حل للمعضلة وسُمِّي MRDP نسبة إلى العلماء الأربعة الذين ساهموا فى إيجاده، (Yuri Matiyasevich, Julia Robinson, Martin Davis, Hilary Putnam)؛ إذ بدأ العمل بين (جوليا) و(ديفيز) في العام 1959م ثم انضم لهم (بوتنام)، ولكنَّ الثلاثة لم يستطيعوا بلورة الخوارزمية المطلوبة، وفي عام 1970م استطاع (يوري) أن يبلور الحل بعدما قرأ بحثًا مكتوبًا من قبل (جوليا)، وكان مفاد الحل: إنه من غير الممكن وضع خوارزمية شاملة تحل كل المعادلات الديوفنتية بحيث تكون الجذور أعدادًا صحيحة. بمعنى آخر، أن كل معادلة تحتاج إلى أن تؤخذَ منفردةً ونستعمل الصبر والمهارة لعل هناك حلًا!
وقد سُمي هذا الحل بالحل السلبي، إذ ليس بمقدور المعرفة البشرية -مهما استعانت بالحواسيب الخارقة- أن تحل بصورة قاطعة المعضلة العاشرة لـ (هيلبرت) (10).
المصادر:
2. Julia Robinson [Internet]. National Academy of Sciences [cited 05 January 2021]. Available from: هنا
3. Julia Bowman Robinson – President 1983-1984 [Internet]. American Mathematical Society [cited 05 January 2021]. Available from: هنا
4. Julia Robinson – Mathematician Class of February 1983 [Internet]. MacArthur Foundation [cited 05 January 2021]. Available from: هنا
5. How Julia Robinson helped define the limits of mathematical knowledge – The 10th Problem [Internet]. Science News [cited 05 January 2021]. Available from: هنا
6. Hilbert’s Problems [Internet]. Wolfarm Mathworld [cited 06 January 2021]. Available from: هنا
7. Diophantine equations [Internet]. Encyclopedia Britannica [cited 08 January 2021]. Available from: هنا
8. C. Reid, The Autobiography of Julia Robinson, The College Mathematics Journal. January 1986.
9. Y. Matiyasevich, My Collaboration with Julia Robinson, The Mathematical Intelligencer, pp38-45, September 1992.
10. Bjorn Poonen, “Undecidability in Number Theory”, American Mathematical Society, vol. 55, no. 3, March 2008.
