تجزئة عدد طبيعي
الرياضيات >>>> رياضيات في دقيقة
Image: Syr-res
تُعرَّف تجزئة عدد طبيعي n بأنها عدد طرائق كتابة العدد n على شكل مجموع أعداد طبيعية أصغر منه، ويرمز لها بـ p(n) فمثلًا p(4)=5 لأن:
إذ نهمل ترتيب الحدود؛ أي إنَّ الطريقة 1+3 هي نفسها 3+1
إنَّ أولَ مَن سأل عن التجزئة هو الرياضي ليبنيز (lebniz) عندما طرح سؤالًا فيما إذا كان تابع التجزئة يأخذ قيمًا أولية لعدد غير منتهٍ من الأعداد إضافة إلى أسئلة أخرى مثل: ما مقدار تزايد هذه المتتالية؟
وهل هناك قانون عام لإيجاد حدودها؟ (1،2) ولاقت هذه المسألة المطروحة اهتمامَ العديد من الرياضيين بدءًا من أويلر (Euler) وغاوس وشور، وقد أحرز العالم رمانوجان (Ramanujan) بالتعاون مع هاردي Hardy) G.H) تقدمًا كبيرًا في دراسة المسألة عندما استطاعا إيجاد العديد من النتائج المثيرة فبرهنوا أنَّ:
p(5n+4)≡0 (mod 5)
p(7n+5)≡0 (mod 7)
p(11n+)6≡0 (mod 11)
وعلى الرغم من وجود كثير من الدراسات على هذه المتتالية، فإنَّه كان من الصعب إيجادُ صيغة مبسطة لها بحيث نكون قادرين على إيجاد قيمة p(n) بسرعة عن طريق n، وقد اشتُقَّت من هذه المتتالية العديدُ من المتتاليات الأخرى، التي تصب كلها في دراسة عدد طرائق تجزئة العدد الطبيعي.
بقي أن نذكر أنَّ لمعرفة الحد العام لهذه المتتالية أثرًا مهمًّا في مجال الاحتمالات والفيزياء الجزيئية وسرعان ما أصبحت من أشهر الدراسات في نظرية الأعداد (2،3).
إعداد: Mohammad Bakkar
المصادر:
2. Chu W. Two problems of George Andrews on generating functions for partitions. Miskolc Mathematical Notes. 2012;13(2):293.
3. Boruah D. Partition Theory of Numbers: An interesting research area in Mathematics | Good Morning Science [Internet]. Good Morning Science. 2017 [cited 12 March 2021]. Available from: هنا
